Ở bài này, các em sẽ được giới thiệu khái niệm Đạo hàm cấp hai của hàm số và ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai trong chương trình Toán lớp 11 Cánh Diều, cùng với đó là những ví dụ minh họa có lời giải chi tiết, giúp các em nắm được phương pháp tính đạo hàm cấp hai của hàm số. Hy vọng bài học sẽ mang đến cho các em niềm vui và năng lượng khi học tập.
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Định nghĩa
| Giả sử hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(y' = f'(x)\) tại mọi điểm \(x \in (a ; b)\). Nếu hàm số \(y' = f'(x)\) tiếp tục có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' tại x là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f(x)\) tại x, kí hiệu là y" hoặc f"(x). |
1.2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Tổng quát
| Đạo hàm cấp hai \(s"(t)\) là gia tốc tức thời của chuyển động \(s = s(t)\) tại thời điểm t. |
Bài tập minh họa
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) \(f(x) = {(2x - 3)^5}.\)
b) \(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\).
c) \(f(x) = x\sqrt {1 + {x^2}} .\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(f'(x) =\left [ \left ( 2x-3 \right )^5 \right ]'= 5.(2x - 3)'{(2x - 3)^4} = 10{(2x - 3)^4}.\)
\(f''(x) = \left[ {10{{\left( {2x - 3} \right)}^4}} \right]' = 10.4.(2x - 3)'(2x - 3) = 80{(2x - 3)^3}.\)
b) Ta có:
\(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{x}\)
\(f'(x) = \left( {x + \frac{1}{x}} \right)' = 1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}.\)
\(f''(x) = \left[ {1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} \right]' = \frac{2}{{{{(x + 1)}^3}}}.\)
c) Ta có:
\(f'(x) = \left( {x\sqrt {1 + {x^2}} } \right)' = \sqrt {1 + {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}.\)
\(\begin{array}{l} f''(x) = \left[ {\frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right]' = \frac{{(2{x^2} + 1)'\sqrt {1 + {x^2}} - \left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}}\\ = \frac{{4x\sqrt {1 + {x^2}} - \left( {2{x^2} + 1} \right)\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}} = \frac{{4x({x^2} + 1) - x(2{x^2} + 1)}}{{(1 + {x^2})\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \frac{{2{x^3} + 3x}}{{(1 + {x^2})\sqrt {1 + {x^2}} }}. \end{array}\)
Luyện tập Bài 3 Chương 7 Toán 11 Cánh Diều
Học xong bài học này, em sẽ:
- Nhận biết khái niệm đạo hàm cấp hai của một hàm số.
- Tính đạo hàm cấp hai của một số hàm số đơn giản.
- Vận dụng đạo hàm cấp hai để giải quyết một số bài toán thực tiễn.
3.1. Trắc nghiệm Bài 3 Chương 7 Toán 11 Cánh Diều
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều Chương 7 Bài 3 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
- A. cos2x + 4cos4x + 9cos6x
- B. - cos2x - 4cos4x - 9cos6x
- C. - cosx - 4cos2x - 9cos3x
- D. \( - \frac{1}{4}\cos 2x + \frac{1}{4}\cos 4x - \frac{1}{4}\cos 6x\)
-
- A. 0
- B. -1
- C. -2
- D. 5
-
- A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0 hoặc t = 2.
- B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 là v =18 m/s.
- C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 là a = 12 m/s2.
- D. Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 3 Chương 7 Toán 11 Cánh Diều
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 7 Bài 3 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 73 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 1 trang 73 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Hoạt động 2 trang 74 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài 1 trang 75 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài 2 trang 75 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài 3 trang 75 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài 4 trang 75 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài 5 trang 75 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 29 trang 77 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 30 trang 77 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 31 trang 77 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 32 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 33 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 34 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 35 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 36 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 37 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Hỏi đáp Bài 3 Chương 7 Toán 11 Cánh Diều
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 11 HỌC247
