Toán 11 Kết nối tri thức Bài 17: Hàm số liên tục

- Phương pháp:

+ Tìm  giới hạn của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) và tính \(f({x_0})\)

+ Nếu tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) thì ta so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) với \(f({x_0})\).

Ví dụ 1: 

Xét tính liên tục của hàm số sau tại \(x = 3\)

a) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^3} - 27}}{{{x^2} - x - 6}}\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ne 3}\\{\frac{{10}}{3}\,\,\,{\rm{          khi}}\,\,x = 3}\end{array}} \right.\)                   

b) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x - 3}}{{\sqrt {2x + 3}  - 3}}\,\,\,{\rm{khi }}\,x < 3}\\{\,\,{{\left( {x - 1} \right)}^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}\,\,x \ge 3}\end{array}} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) Hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\)

Ta có \(f(3) = \frac{{10}}{3}\) và  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^3} - 27}}{{{x^2} - x - 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x - 3)({x^2} + 3x + 9)}}{{(x - 3)(x + 2)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} + 3x + 9}}{{x + 2}} = \frac{{27}}{5} \ne f(3)\).

Vậy hàm số không liên tục tại \(x = 3\).

b) Ta có \(f(3) = 4\) và  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {(x - 1)^2} = 4\) ; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{x - 3}}{{\sqrt {2x + 3}  - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{\sqrt {2x + 3}  + 3}}{2} = 3 \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x)\)

Vậy hàm số gián đoạn tại \(x = 3\).            

- Phương pháp: Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …

- Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.

Ví dụ 1:

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục  số:

a) \(f(x) = \tan 2x + \cos x\)                                      

b) \(f(x) = \frac{{\sqrt {x - 1}  + 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}\)

Hướng dẫn giải

a) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Vậy hàm số liên tục trên \(D\)

b) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\{x^2} - 3x + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ne 2\end{array} \right.\)

Vậy hàm số liên tục trên \(\left( {1;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

Phương pháp:

Để chứng minh phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên D và có hai số \(a,b \in D\) sao cho \(f(a).f(b) < 0\).

Để chứng minh phương trình \(f(x) = 0\) có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau \(({a_i};{a_{i + 1}})\) (i=1,2,…,k) nằm trong D sao cho \(f({a_i}).f({a_{i + 1}}) < 0\).

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm :

a) \({x^7} + 3{x^5} - 1 = 0\)                                        

b) \({x^2}\sin x + x\cos x + 1 = 0\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có hàm số \(f(x) = {x^7} + 3{x^5} - 1\) liên tục trên R và \(f(0).f(1) =  - 3 < 0\)

Suy ra phương trinh \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \((0;1)\).

b) Ta có hàm số \(f(x) = {x^2}\sin x + x\cos x + 1\) liên tục trên R và \(f(0).f(\pi ) =  - \pi  < 0\). Suy ra phương trinh \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \((0;\pi )\).

Học xong bài học này, em có thể:

- Nhận dạng hàm số liên tục tại một điểm, hoặc trên một khoảng/đoạn. Nhận dạng tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục.

- Nhận biết tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản trên tập xác định của chúng.

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Chương 5 Bài 17 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?

  • A. Hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( a;b \right)\) được gọi là liên tục tại \({{x}_{0}}\in \left( a;b \right)\) nếu \(\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)\).
  • B. Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ a;b \right]\) thì \(f\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất trên \(\left[ a;b \right]\).
  • C. Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ a;b \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right)>0\) thì phương trình \(f\left( x \right)=0\) không có nghiệm trên \(\left( a;b \right)\).
  • D. Các hàm đa thức, hàm lượng giác liên tục tại mọi điểm mà nó xác định.

• Câu 2:

  Cho hàm số \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4} & \mathrm{khi} & x>4\\ ax\text{+}\frac{\text{5}}{\text{4}} & \mathrm{khi} & x\le \text{4}\\ \end{array} \right.\), trong đó \(a\) là một hằng số đã biết. Hàm số có giới hạn hữu hạn tại \(x=4\) khi và chỉ khi

  • A. \(a=1\).                  
  • B. \(a=-1\).             
  • C. \(a=-\frac{1}{4}\).    
  • D. \(a=\frac{1}{4}\).

• Câu 3:

  Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{{{x}^{2}}-x-2}{x-2} & \mathrm{khi} & x\ne 2 \\ m & \mathrm{khi} & x=2 \\ \end{array} \right.\) liên tục tại \(x=2\).

  • A. \(m=0\).              
  • B. \(m=2\).           
  • C. \(m=1\).              
  • D. \(m=3\).

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Chương 5 Bài 17 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Mở đầu trang 119 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 1 trang 119 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 1 trang 120 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 2 trang 120 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 2 trang 121 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 3 trang 121 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải Bài 5.14 trang 122 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải Bài 5.15 trang 122 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải Bài 5.16 trang 122 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải Bài 5.17 trang 122 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Bài tập 5.21 trang 86 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 5.22 trang 86 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 5.23 trang 86 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 5.24 trang 86 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 5.25 trang 86 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!