Hiểu được tầm quan trọng của việc học lý thuyết Toán, HOC247 đã biên soạn ngắn gọn nhưng đầy đủ nội dung Bài học Giới hạn của dãy số môn Toán 11 Kết Nối Tri Thức. Các em có thể vừa xem lý thuyết và bài tập vận dụng để có thể củng cố kiến thức vừa học một cách hiệu quả và nhanh nhất.
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
|
Ta nói dãy số (\(u_n\)) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(|u_n|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\) hay \(u_n \to 0\) khi \(n \to +\infty\). |
Chú ý: Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có các kết quả sau:
+ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}^*\);
+ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0\) nếu \(\left| q \right| < 1\);
+ Nếu \(|u_n| \le v_n\) với mọi \(n\ge 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } v_n =0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} =0\).
|
Ta nói dãy số (\(u_n\)) có giới hạn là a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n -a}) =0\). Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) hay \(u_n \to a\) khi \(n \to +\infty\). |
1.2. Định lí về giới hạn của dãy số
|
- Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a, \mathop {\lim }\limits_{n\to + \infty } {v_n} = b\) thì + \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n} + {v_n}) = a + b\) + \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n} - {v_n}) = a - b\) + \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n}.{v_n}) = a.b\) + \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}{\rm{ (}}b \ne 0)\) - Nếu \({u_n} \ge 0 \text{ với mọi } n\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) thì \(a\ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \) |
1.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
- Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn \(({u_n})\) có công bội q thỏa \(\left| q \right| < 1\).
Khi đó tổng \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ....\) gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và
\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\) \((\left| q \right| < 1)\).
1.4. Giới hạn vô cực của dãy số
|
- Dãy số (\(u_n\)) được gọi là có giới hạn là \(+\infty\) khi \(n \to +\infty\), nếu \(u_n\) có thể lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = +\infty\) hay \(u_n \to +\infty\) khi \(n \to +\infty\). - Dãy số (\(u_n\)) được gọi là có giới hạn là \(-\infty\) khi \(n \to +\infty\), nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({-u_n}) = +\infty\) . Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = -\infty\) hay \(u_n \to -\infty\) khi \(n \to +\infty\). |
Theo định nghĩa, ta có:
+ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^k} = + \infty\) với \(k \in \mathbb{N}^*\);
+ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = + \infty\) nếu \(q > 1\).
Một số quy tắc liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số:
|
- Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = + \infty\) (hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = - \infty\)) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} =0\). - Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a>0\), \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 0\) và \( {v_n} >0\) với mọi n thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} =+ \infty\). - Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty\), \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = a>0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }{{{u_n}}}{{{v_n}}} =+ \infty\). |
Bài tập minh họa
*Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản
- Phương pháp: Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
+ Khi tìm \(\lim\limits_{n \to + \infty } \frac{{f(n)}}{{g(n)}}\) ta thường chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), trong đó \(k\) là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
+ Khi tìm \(\lim\limits_{n \to + \infty } \left[ {\sqrt[k]{{f(n)}} - \sqrt[m]{{g(n)}}} \right]\) trong đó \(\lim\limits_{n\to + \infty } f(n) = \lim\limits_{n \to + \infty } g(n) = + \infty \) ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp.
Câu 1:
a) Tính giá trị của \(A = \lim\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} - n + 2}}.\)
b) Tính giá trị của \(B = \lim\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^3} - 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}}.\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(A = \lim\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}\left( {2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \limits_{n \to + \infty } \frac{{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{3}\).
b) \(B = \lim\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^3} - 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}} = \lim\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^4}\left( {\frac{1}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}} \right)}}{{{n^4}\left( {1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}} \right)}} = \lim\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{1}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}}{{1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}}} = 0.\)
Câu 2:
a) Tính giá trị của \(A = \lim\limits_{n\to + \infty } \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n - \sqrt {3{n^2} + 1} }}.\)
b) Tính giá trị của \(B = \lim\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt[3]{{3{n^3} + 2}}}}{{\sqrt[4]{{2{n^4} + n + 2}} - n}}.\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(A = \lim\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{n}}}{{\frac{{n - \sqrt {3{n^2} + 1} }}{n}}} = \lim \limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} }}{{1 - \sqrt {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} }} = \frac{1}{{1 - \sqrt 3 }}.\)
b) Ta có: \(B = \lim\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt[3]{{3 + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right)}}{{n\left( {\sqrt[4]{{2 + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}} - 1} \right)}} = \frac{{1 - \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} - 1}}\).
Luyện tập Bài 15 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Học xong bài học này, em có thể:
- Nhận biết khái niệm giới hạn của dãy số. Giải thích một số giới hạn cơ bản. Vận dụng các phép toán giới hạn để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản.
- Tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng được kết quả đó để giải quyết một số tình huống thực tiễn giả định hoặc liên quan đến thực tiễn.
3.1. Trắc nghiệm Bài 15 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Chương 5 Bài 15 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
- A. \({u_n} = \frac{{{n^2} - 2n}}{{5n + 5{n^2}}}\)
- B. \({u_n} = \frac{{1 + 2n}}{{5n + 5}}\)
- C. \({u_n} = \frac{{1 + {n^2}}}{{5n + 5}}\)
- D. \({u_n} = \frac{{{n^2} - 2}}{{5n + 5{n^3}}}\)
-
- A. \({u_n} = \frac{{9{n^2} + 7n}}{{n + {n^2}}}\)
- B. \({u_n} = \frac{{2007 + 2008n}}{{n + 1}}\)
- C. \({u_n} = 2008n - 2007{n^2}\)
- D. \({u_n} = {n^2} + 1\)
-
- A. \(\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^3} - 4}}\)
- B. \(\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^2} - 1}}\)
- C. \(\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^3} + 2{n^2}}}\)
- D. \(\lim \frac{{2{n^3} - 3}}{{ - 2{n^2} - 1}}\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 15 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Chương 5 Bài 15 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 105 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 1 trang 105 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 2 trang 105 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 2 trang 106 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Vận dụng 1 trang 106 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 3 trang 106 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 3 trang 107 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 4 trang 107 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 4 trang 108 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Vận dụng 2 trang 108 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 5 trang 108 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 5 trang 109 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải Bài 5.1 trang 109 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải Bài 5.2 trang 109 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải Bài 5.4 trang 109 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải Bài 5.5 trang 109 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải Bài 5.6 trang 109 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Bài tập 5.1 trang 77 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 5.2 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 5.3 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 5.4 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 5.5 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 5.6 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 5.7 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 5.8 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 5.9 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 5.10 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT
Hỏi đáp Bài 15 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 11 HỌC247
