Hoạt động 4 trang 107 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Phương pháp giải:

Dựa vào đề bài để tìm ra biểu thức S_n. Sau đó tìm giới hạn.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: u₁ là độ dài cạnh của hình vuông được tô màu tạo từ việc chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, do đó \({u_1} = \frac{1}{2}\).

Cứ tiếp tục như thế, ta được: \({u_2} = \frac{1}{2}{u_1},{u_3} = \frac{1}{2}{u_2}\),..., \({u_n} = \frac{1}{2}{u_{n - 1}}\), ...

Do vậy, độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{2}\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).

Do đó, tổng của n số hạng đầu là

Sn = u1 + u2 + ... + un = \(\frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} \)\(= \frac{{\frac{1}{2}\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right)}}{{1 - \frac{1}{2}}}\)

b) Ta có: S =\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {S_n}\)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } 1 - \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} \)\(= 1 - 0 = 1\).

-- Mod Toán 11 HỌC247