Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

Ý nghĩa:

- Dùng để đo độ phân tán của toàn bộ mẫu số liệu: Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

- Dùng để đo độ phân tán của một nửa các số liệu có giá trị thuộc đoạn từ \({Q_1}\) đến \({Q_3}\) trong mẫu.

- Không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.

Ví dụ: Hãy tính khoảng biên thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu: 10; 20; 3; 1; 3; 4; 7; 4; 9.

Giải

Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là: \(1;3;3;4;4;7;9;10;20\)

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 20 - 1 = 19

+ Cỡ mẫu là n = 9 là số lẻ nên giá tị tứ phân vị thứ hai là: Q₂ = 4

+ Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 3; 3; 4. Do đó Q₁ = 3

+ Tử phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 7; 9; 10; 20. Do đó Q₃ = 9,5.

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu là: A_Q = 9,5 - 3 = 6,5.

Giá trị ngoại lệ: \(x\) là giá trị ngoại lệ nếu \(\left[ \begin{array}{l}x < {Q_1} - 1,5.{\Delta _Q}\\x > {Q_3} + 1,5.{\Delta _Q}\end{array} \right.\)

Ý nghĩa: Nếu số liệu càng phân tán thì phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn

Chú ý: Phương sai của mẫu số liệu cho dạng bảng tần số:

\({s^2} = \frac{{{m_1}{{({x_1} - \overline x )}^2} + {m_2}{{({x_2} - \overline x )}^2} + ... + {m_k}{{({x_k} - \overline x )}^2}}}{n}\)

Với \({m_i}\) là tần số của giá trị \({x_i}\) và \(n = {m_1} + {m_2} + ... + {m_k}\)

* Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số:

Khi đó, công thức tính phương sai trở thành:

\({S^2} = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_k}{{\left( {{x_k} - \overline x } \right)}^2}} \right]\)

trong đó n = n₁ + n₂ +...+ n_k

Có thể biến đổi công thức tính phương sai trên thành:

\({S^2} = \frac{1}{n}\left( {{n_1}.x_1^2 + {n_2}.x_2^2 + ... + {n_k}.x_k^2} \right) - {\overline x ^2}\). 

Ví dụ: Điều tra một số học sinh về số cái bánh chưng mà gia đình mỗi bạn tiêu thụ trong địp Tết Nguyên đán, kết quả được ghi lại ở bảng sau. Hãy tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu sô liêu.

Giải

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

\(\overline x  = \frac{1}{{40}}\left( {5.6 + 7.7 + 10.8 + 8.9 + 5.10 + 4.11 + 15} \right) = 8,5\). 

Phương sai của mẫu số liệu trên là

\({S^2} = \frac{1}{{40}}\left( {{{5.6}^2} + {{7.7}^2} + {{10.8}^2} + {{8.9}^2} + {{5.10}^2} + {{4.11}^2} + {{15}^2}} \right) - 8,{5^2} = 3,25\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

\(S = \sqrt {{S^2}}  = \sqrt {3,25}  \approx 1,80.\)

Câu 1: Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:

a) \(10;13;15;2;10;19;2;5;7\)

b) \(15;19;10;5;9;10;1;2;5;15\)

Hướng dẫn giải

a) Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là: \(2;2;5;7;10;10;13;15;19\)

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: \(R = 19 - 2 = 17.\)

Cỡ mẫu là \(n = 9\) là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: \({Q_2} = 10.\)

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: \(2;2;5;7\). Do đó \({Q_1} = 3,5\)

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: \(10;13;15;19\). Do đó \({Q_3} = 14\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu là: \({\Delta _Q} = 14 - 3,5 = 10,5\)

b) Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là: \(1;2;5;5;9;10;10;15;15;19\)

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: \(R = 19 - 1 = 18.\)

Cỡ mẫu là \(n = 10\) là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: \({Q_2} = 9,5.\)

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: \(1;2;5;5;9\). Do đó \({Q_1} = 5.\)

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: \(10;10;15;15;19\). Do đó \({Q_3} = 15\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu là: \({\Delta _Q} = 15 - 5 = 10\)

Câu 2: Bảng dưới đây thống kê tổng số giờ nắng trong năm 2019 theo từng tháng được đo bởi hai trạm quan sát khí tượng đặt ở Tuyên Quang và Cà Mau.

a) Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của dữ liệu từng tỉnh.

b) Nêu nhận xét về sự thay đổi tổng số giờ nắng theo từng tháng ở mỗi tỉnh.

Hướng dẫn giải

+) Tuyên Quang:

Số giờ nắng trung bình \(\overline x  = \frac{{25 + 89 + 72 + 117 + 106 + 177 + 156 + 203 + 227 + 146 + 117 + 145}}{{12}} = 131,67\)

Phương sai: \({S^2} = \frac{1}{{12}}\left( {{{25}^2} + {{89}^2} + ... + {{145}^2}} \right) - 131,{67^2} \approx 2921,2\)

Độ lệch chuẩn \(S = \sqrt {2921,2}  \approx 54\)

+) Cà Mau:

Số giờ nắng trung bình \(\overline x  = \frac{{180 + 223 + 257 + 245 + 191 + 111 + 141 + 134 + 130 + 122 + 157 + 173}}{{12}} = 172\)

Phương sai: \({S^2} = \frac{1}{{12}}\left[ {\left( {{{180}^2} + {{223}^2} + ... + {{173}^2}} \right) - {{172}^2}} \right] = 2183\)

Độ lệch chuẩn \(S = \sqrt {2183}  = 46,7\)

=> Nhận xét: Ở Tuyên Quang tổng số giờ nắng theo từng tháng thay đổi nhiều hơn so với ở Cà Mau.

Qua bài giảng trên giúp các em nắm được các nội dung như sau:

- Khái niệm các số đặc trưng của mẫu liệu: phương sai , độ lệch chuẩn

- Biết tính các số đặc trưng của mẫu liệu : số trung bình , số trung vị , mốt , phương sai , độ lệch chuẩn và hệ số biến thiên

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 6 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho dãy số liệu thống kê: 5; 6; 7; 8; 9. Phương sai của dãy số liệu thống kê trên là bao nhiêu?

  • A. 10
  • B. 7
  • C. 6
  • D. 2 

• Câu 2:

  Có 100 học sinh tham dự kì thi HSG Toán (thang điểm 20 điểm) kết quả như sau:

  

  Tính độ lệch chuẩn (kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân).

  • A. 4,67
  • B. 2,16
  • C. 4,7
  • D. 2,17

• Câu 3:

  Sản lượng lúa (đơn vị là tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng số liệu sau: 

  

  Phương sai là:

  • A. 1,52
  • B. 1,53
  • C. 1,54
  • D. 1,55

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 6 Bài 4 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động khám phá 1 trang 120 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 1 trang 121 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Vận dụng 1 trang 121 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 2 trang 122 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Hoạt động khám phá 2 trang 122 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Vận dụng 2 trang 124 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 1 trang 124 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 2 trang 124 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 3 trang 125 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 4 trang 125 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 5 trang 125 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 6 trang 125 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 1 trang 129 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 2 trang 129 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 3 trang 129 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 4 trang 130 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 5 trang 130 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 6 trang 130 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!