OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a.\) Hai điểm \(M,\;N\) lần lượt di động trên hai đoạn thẳng \(AB,\;\;AC\) sao cho \(\dfrac{{AM}}{{MB}} + \dfrac{{AN}}{{NC}} = 1.\) Đặt \(AM = x\) và \(AN = y.\) Chứng minh: \(MN = a - x - y.\)

Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a.\) Hai điểm \(M,\;N\) lần lượt di động trên hai đoạn thẳng \(AB,\;\;AC\) sao cho \(\dfrac{{AM}}{{MB}} + \dfrac{{AN}}{{NC}} = 1.\) Đặt \(AM = x\) và \(AN = y.\) Chứng minh: \(MN = a - x - y.\)\(\(MN = a - x - y.\)\)

  bởi can chu 11/07/2021
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  •  

    Ta có:

    \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{{AM}}{{MB}} + \dfrac{{AN}}{{NC}} = 1\\ \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AB - AM}} + \dfrac{{AN}}{{AC - AN}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{a - x}} + \dfrac{y}{{a - y}} = 1\\ \Leftrightarrow ax - xy + ay - xy = {a^2} - ax - ay + xy\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2ax - 2ay + 3xy = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + 2xy = {x^2} + {y^2} - xy\\ \Leftrightarrow {\left( {a - x - y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} - xy\end{array}\)

    Giả sử \(x > y\) , kẻ MM’ // BC, NN’ // BC \(M' \in AC;\,\,N' \in AB\).

    Áp dụng định lí Ta-let ta có \(\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AM'}}{{AC}};\,\,AB = AC \Rightarrow AM = AM'\)

    \(\angle BAC = {60^0} \Rightarrow \angle MAM' = {60^0} \Rightarrow \Delta AMM'\) đều \( \Rightarrow MM' = AM = x\).

    Chứng minh tương tự ta có : \(NN' = y\)

    MM’ // NN’ ; \(\angle AMM' = \angle AM'M = {60^0} \Rightarrow \) tứ giác MM’NN’ là hình thang cân.

    Ta có \(MN' = M'N = x - y\).

    Kẻ \(NH \bot MM'\) ta có : \(M'H = \dfrac{{x - y}}{2};\,\,MH = \dfrac{{x + y}}{2}\).

    Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông NHM’ có :

    \(NH = \sqrt {NM{'^2} - M'{H^2}}  \)\(\;= \sqrt {{{\left( {x - y} \right)}^2} - \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{4}}  \)\(\;= \dfrac{{\left( {x - y} \right)\sqrt 3 }}{2}\)

    Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông NHM có :

    \(\begin{array}{l}MN = \sqrt {N{H^2} + M{H^2}} \\ = \sqrt {\dfrac{{3{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{4} + \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}}  \\= \sqrt {\dfrac{{4{x^2} + 4{y^2} - 4xy}}{4}}\\  = \sqrt {{x^2} + {y^2} - xy}  \\= \sqrt {{{\left( {a - x - y} \right)}^2}}  = \left| {a - x - y} \right|\end{array}\)

    Ta có

    \(\begin{array}{l}\dfrac{{AM}}{{MB}} + \dfrac{{AN}}{{NC}} = 1\\ \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{MB}} < 1 \Rightarrow AM < MB\\ \Rightarrow AM + AM < AM + MB = AB = a\\ \Rightarrow AM < \dfrac{1}{2}a\end{array}\)

    Chứng minh tương tự ta có \(AN < \dfrac{1}{2}a\)

    \( \Rightarrow a - x - y > a - \dfrac{1}{2}a - \dfrac{1}{2}a = 0 \)

    \(\Rightarrow \left| {a - x - y} \right| = a - x - y\)

    Vậy \(MN = a - x - y\).

      bởi Ngoc Tiên 12/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9