-
Câu hỏi:
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0; - 1;0} \right),C\left( {0;0;1} \right),D\left( {1; - 1;1} \right)\). Mặt cầu tiếp xúc 6 cạnh của tứ diện ABCD cắt (ACD) theo thiết diện có diện tích S. Chọn mệnh đề đúng?
-
A.
\(S = \frac{\pi }{3}\)
-
B.
\(S = \frac{\pi }{6}\)
-
C.
\(S = \frac{\pi }{4}\)
-
D.
\(S = \frac{\pi }{5}\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: B
Dễ dàng tính được \(AB = BC = CD = DA = \sqrt 2 \Rightarrow \) Tứ diện ABCD là tứ diện đều.
\(\Rightarrow \) Tâm mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện chính là tâm của tứ diện đều.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD \( \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2}; - \frac{1}{2};0} \right),N\left( {\frac{1}{2};\frac{{ - 1}}{2};1} \right)\)
Gọi I là trung điểm của MN \( \Rightarrow I\left( {\frac{1}{2}; - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) là tâm của tứ diện ABCD.
Bán kính mặt cầu cần tìm là \(R = d\left( {I;AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IA} ;\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;0;1} \right)\\
\overrightarrow {AD} = \left( {0; - 1;1} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\) là 1 VTPT của (ACD).\(\Rightarrow \) Phương trình (ACD) là: \(\left( {x - \frac{1}{2}} \right) + \left( {y + \frac{1}{2}} \right) + \left( {z - \frac{1}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - \frac{1}{2} = 0\)
\(d\left( {I;\left( {ACD} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt 3 }} = 0 \Rightarrow I \in \left( {ACD} \right)\). Do đó mặt cầu tiếp xúc 6 cạnh của tứ diện ABCD cắt (ACD) theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính \(R = \frac{{\sqrt 6 }}{6} \Rightarrow S = \pi {R^2} = \frac{\pi }{6}\)
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm I cạnh AB = 3a, BC = 4a.
- Cho y = F (x) và y = G (x) là những hàm số có đồ thị cho trong hình bên dưới, đặt P (x) = F (x).G (x).
- Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi N là điểm thuộc cạnh AD sao cho AN = 2DN. Đường thẳng qua N vuông góc với BN cắt BC tại K.
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right) = x + y + z - 3 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{x}{1} =
- Cho hình lập phương ABCD.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và BC.
- Trong khai triển Newton của biểu thức \({\left( {2x - 1} \right)^{2019}}\) số hạng chứa \(x^{18}\) là
- Hàm số nào sau đây là hàm số mũ?
- Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn \(\left[ { - 2018;2018} \right]\) để hàm số\(f\left( x \right)
- Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \(u_1=1\) và công bội \(q = - \frac{1}{2}\).
- Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2}\) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ 0, 1, m và n.
- Trong hình dưới đây, điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC. Khẳng định nào sau đây là đúng? \(ac=b^2\)
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow i + \overrightarrow j - 2\overrightarro
- Cho mặt cầu (S) có đường kính 10cm và mặt phẳng (P) cách tâm mặt cầu một khoảng 4cm. Khẳng định nào sau đây là sai?
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng Ozx?
- Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị trên đoạn [- 1;4] như hình vẽ dưới đây.
- Biết rằng \(\int\limits_1^a {\ln xdx = 1 + 2a,\left( {a > 1} \right)} \).
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 1\\z = - 2 + 3t\end{array}
- Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi I là trung điểm của CD.
- Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{mx + 1}}{{x + {m^2}}}\) có giá trị lớn nh
- Biết rằng thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều có diện tích bằng \({a^2}\sqrt 3 \).
- Tìm số nghiệm của phương trình \(\sin \left( {\cos 2x} \right) = 0\) trên \(\left[ {0;2\pi } \right]\).
- Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \({\log _{0,02}}\left( {{{\log }_2}\left( {{3^x} + 1} \right)} \r
- Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} + x\) là
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.
- Cho khối tứ diện ABCD có \(BC = 3,CD = 4,\angle ABC = \angle BCD = \angle ADC = {90^0}\).
- Cho các số thực \(a, b, c, d\) thay đổi luôn thỏa mãn \({\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} = 1\) và \(4c +
- Đạo hàm của hàm số \(y = \log \left( {1 - x} \right)\) bằng
- Biết phương trình \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\left( {a \ne 0} \right)\). Có đúng hai nghiệm thực.
- Một tay đua đang điều khiển chiếc xe đua của mình với vận tốc 180km/ h.
- Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên R và có đồ thị (C), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 (phần tô
- Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
- Đồ thị của hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm có tung độ âm?
- Cho tập \(A = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\).
- Cho bất phương trình \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{2}{x}}} + 3{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{x} + 1}} > 12\) có tập
- Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(S:{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\) và M(4;6
- Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có dạng hình parabol nh
- Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - z + 6 = 0\) và hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} =
- Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O bán kính R.
- Phương trình \(\log _3^2x - 2{\log _{\frac{1}{3}}}x - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_1, x_2\).
- Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{1}\).
- Tập hợp các số thực m để phương trình \({\log _2}x = m\) có nghiệm thực là
- Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0; - 1;0} \right),C\left( {0;0;1} \right),D\left( {1; - 1;1} \right)\).
- Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn [1;3], thỏa mãn \(f\left( {4 - x} \right) = f\left( x \right),\forall x \in \left[ {1;3} \r
- Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy.
- Cho tập \(M = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\). Có bao nhiêu tập con có 4 phần tử lấy từ các phần tử của tập M?
- Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P). Chọn khẳng định đúng?
- Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên R, thỏa mãn \(f\left( { - 1} \right) = f\left( 3 \right) = 0\) và đồ thị của hàm
- Cho hàm số \(f\left( x \right) = {3^{x - 4}} + \left( {x + 1} \right){.2^{7 - x}} - 6x + 3\).
- Trong không gian tọa độ Oxyz, góc giữa hai vectơ (\overrightarrow i\) và \(\overrightarrow u = \left( { - \sqrt 3 ;0;1} \r
- Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x - 5\)
