-
Câu hỏi:
Trong không gian \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A\left( 0;1;-1 \right)\), \(B\left( 1;1;2 \right)\), \(C\left( 1;-1;0 \right)\) và \(D\left( 0;0;1 \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( BCD \right)\) và chia khối tứ diện \(ABCD\) thành hai khối đa diện sao cho tỉ số thể tích của khối đa diện có chứa điểm \(A\) và khối tứ diện \(ABCD\) bằng \(\frac{1}{27}\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
-
A.
\(y+z-4=0\).
-
B.
\(y-z-1=0\).
-
C.
\(-y+z-4=0\).
-
D.
\(3x-3z-4=0\).
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: B
Chọn B.
.png)
Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với các cạnh \(AB\), \(AC\), \(AD\).
Ta có: \(\left( \alpha \right)\ \text{//}\ \left( BCD \right)\)\(\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{AP}{AD}\).
\(\Rightarrow \frac{{{V}_{AMNP}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{AM}{AB}.\frac{AN}{AC}.\frac{AP}{AD}\)\(=\frac{1}{27}\)\(\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{1}{3}\)\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AM}\).
Mà: \(\overrightarrow{AB}=\left( 1;0;3 \right)\); \(3\overrightarrow{AM}=\left( 3{{x}_{M}};3{{y}_{M}}-3;3{{z}_{M}}+3 \right)\).\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 3{{x}_{M}}=1 \\ & 3{{y}_{M}}-3=0 \\ & 3{{z}_{M}}+3=3 \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{M}}=\frac{1}{3} \\ & {{y}_{M}}=1 \\ & {{z}_{M}}=0 \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow M\left( \frac{1}{3};1;0 \right)\).
Ta lại có: \(\overrightarrow{BC}=\left( 0;-2;-2 \right)\), \(\overrightarrow{BD}=\left( -1;-1;-1 \right)\).
\(\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]\)\(=\left( 0;2;-2 \right)\).
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\) và nhận \(\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{n}\)\(=\left( 0;1;-1 \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\left( y-1 \right)-\left( z-0 \right)=0\)\(\Leftrightarrow y-z-1=0\).
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Trong không gian \(Oxyz\), các vectơ đơn vị trên các trục \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) lần lượt là \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\), cho điểm \(M\left( 3;-4;12 \right)\)?
- Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng đi qua điểm \(A\left( 3;1;2 \right)\)
- Trong không gian \(Oxyz\), một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\frac{x}{-5}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-2}=1\) là
- Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2x+3\) là
- \(\int{{{\text{e}}^{-2x+1}}}\text{d}x\) bằng
- Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi các đường \(x=0\), \(x=\pi \(, \(y=0\) và \(y=-\cos x\). Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục \(Ox\) được tính theo công thức:
- Trong không gian \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\left( 1;2;3 \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u}=\left( 2;-1;-2 \right)\).
- Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \({{z}^{2}}-2z+5=0\) là: A. \(1+2i\).
- Cho các số phức \({{z}_{1}}=3+4i\), \({{z}_{2}}=5-2i\). Tìm số phức liên hợp \(\bar{z}\) của số phức \(z=2{{z}_{1}}+3{{z}_{2}}\)
- Phần thực của số phức \(\left( 2-i \right)\left( 1+2i \right)\)
- Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 1;2;1 \right)\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right):2x-y+2z+7=0\) theo một đường tròn có đường kính bằng \(8\).
- Số phức liên hợp \(\bar{z}\) của số phức \(z=\frac{4+6i}{1-i}\) là
- Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của \(f\left( x \right)={{\tan }^{2}}x\) biết phương trình \(F\left( x \right)=0\) có một nghiệm \(\frac{\pi }{4}\).
- Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai đường thẳng \(\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z}{-2}\) và \(\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+2}{-1}\) .
- Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=-{{3}^{x}},y=0\), \(x=0,x=4\). Mệnh đề nào sau đây đúng
- Cho hai số phức \({{z}_{1}}=-1+2i\), \({{z}_{2}}=1+2i\). Tính
- Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(2x-6y-4z+7=0\) và ba điểm \(A\left( 2;4;-1 \right),B\left( 1;4;-1 \right),C\left( 2;4;3 \right)\).
- Trong không gian \(Oxyz\), tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y+2z-3=0\) là
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y={{x}^{2}}-4\) và các đường thẳng \(y=0\), \(x=-1\), \(x=5\) bằ
- Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( 0;0;1 \right)\), \(B\left( 0;2;0 \right)\), \(C\left( 3;0;0 \right)\).
- Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(3x+4y-12z+5=0\) và điểm \(A\left( 2;4;-1 \right)\). Trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) lấy điểm \(M\). Gọi \(B\) là điểm sao cho \(\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AM}\).
- Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( 0;1;-1 \right)\), \(B\left( 1;1;2 \right)\), \(C\left( 1;-1;0 \right)\) và \(D\left( 0;0;1 \r
- Trong không gian \(Oxyz\) biết vector \(\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( 2;1;5 \right)\) và chứa trục \(Ox\) .
- \(A,\,B\) là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng \(Oxy\) . Biết tam giác \(OAB\) đều (với \(O\) là gốc tọa độ), tính \(P=c+2d\) .
- Cho \({{z}_{1}}\) và \({{z}_{2}}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}-2z+5=0\), biết \({{z}_{1}}-{{z}_{2}}\) có phần ảo l
- Biết \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( {{\tan }^{2}}x+2{{\tan }^{8}}x \right)}dx=\frac{-a}{b}+\frac{\pi }{c}\) với \(a,b,c\in \mathbb{N}\),
- Trong không gian \(\text{Ox}yz\), tính diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\), biết \(A\left( 2;0;0 \right),\ B\left( 0;3;0 \right)\), \(C\left( 0;0;4 \right)\).
- Gọi \(z\) là số phức có mô đun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện \(\left| z-2-8i \right|=\sqrt{17}\). Biết \(z=a+bi\) với \(a,b\in \mathbb{R}\), tính \(m=2{{a}^{2}}-3b\).
- Trên tập số phức, phương trình \({{z}^{2}}-6z+{{2019}^{2020}}+9=0\) có một nghiệm là
- Tính môđun \(\left| z \right|\) của số phức\(z=\left( 2+i \right){{\left( 1+i \right)}^{2}}+1\)
