- Điều kiện: \(x >  - \frac{1}{4}\)

- Với  thay vào phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {4x + 1} \right) + {{\log }_5}\left( {2x + 1} \right)} \right] = 2x - m\)  (*) ta được m = 2.

Khi m = 2 thì phương trình đã cho trở thành:

\(\left( {x - 1} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {4x + 1} \right) + {{\log }_5}\left( {2x + 1} \right)} \right] = 2x - 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 0\\
{\log _3}\left( {4x + 1} \right) + {\log _5}\left( {2x + 1} \right) = 2{\rm{ }}\left( 1 \right)
\end{array} \right.\)

Dễ thấy phương trình (1) có nghiệm duy nhất .

 => m = 2 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực.

- Với \(x \ne 1\) thì:

\(\begin{array}{l}
\left( {x - 1} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {4x + 1} \right) + {{\log }_5}\left( {2x + 1} \right)} \right] = 2x - m \Leftrightarrow {\log _3}\left( {4x + 1} \right) + {\log _5}\left( {2x + 1} \right) = \frac{{2x - m}}{{x - 1}}\backslash \\
 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {4x + 1} \right) + {\log _5}\left( {2x + 1} \right) - \frac{{2x - m}}{{x - 1}} = 0
\end{array}\)

Xét hàm số \(y = {\log _3}\left( {4x + 1} \right) + {\log _5}\left( {2x + 1} \right) - \frac{{2x - m}}{{x - 1}}\) với \(x \in \left( { - \frac{1}{4};1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

Ta có: \(y' = \frac{4}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 3}} + \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)\ln 5}} + \frac{{2 - m}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left( { - \frac{1}{4};1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) và m < 2.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: phương trình y = 0 có đúng 2 nghiệm \({x_1} \in \left( { - \frac{1}{4};1} \right),{x_2} \in \left( {1; + \infty } \right)\)  với mọi m < 2.

Vậy với mọi giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-2019; 2] thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm thực phân biệt, tức là có 2022 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.