Gọi R₁ là bán kính đường tròn đáy hình nón lúc đầu; h₁ là chiều cao của hình nón lúc đầu.

Gọi R₂ là bán kính đường tròn đáy hình nón sau khi tăng thể tích; h₂ là chiều cao của hình nón sau khi tăng thể tích.

Ta có: \({V_1} = \frac{1}{3}\pi R_1^2{h_1} \Rightarrow 12\pi  = \frac{1}{3}\pi R_1^24 \Rightarrow {R_1} = 3\)

 \(\left. \begin{array}{l}{V_1} = \frac{1}{3}\pi R_1^2{h_1}\\{V_2} = \frac{1}{3}\pi R_2^2{h_2}\\{h_2} = {h_1}\end{array} \right\} \Rightarrow \frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{{R_2^2}}{{R_1^2}} = 4 \Rightarrow {R_2} = 2{R_1} = 6\)

Diện tích xung quanh hình nón lúc đầu: \({S_{xp1}} = \pi {R_1}{l_1} = \pi 3\sqrt {16 + 9}  = 15\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích xung quanh hình nón sau khi tăng thể tích: \({S_{xp2}} = \pi {R_2}{l_2} = \pi 6\sqrt {16 + 36}  = 12\pi \sqrt {13} \left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích phần giấy bạc cần tăng thêm là: \(S = \left( {12\sqrt {13}  - 15} \right)\pi \left( {c{m^2}} \right)\)