Một đoàn cứu trợ lũ lụt đang ở vị trí A của một tỉnh miền trung muốn đến xã C để tiếp tế lương thực và thu�

Câu hỏi:
Một đoàn cứu trợ lũ lụt đang ở vị trí A của một tỉnh miền trung muốn đến xã C để tiếp tế lương thực và thuốc men. Để đi đến C, đoàn cứu trợ phải chèo thuyền từ A đến vị trí D với vận tốc 4(km/h), rồi đi bộ đến C với vận tốc 6 (km/h). Biết A cách B một khoảng 5km, B cách C một khoảng 7km (hình vẽ). Hỏi vị trí điểm D cách A bao xa để đoàn cứu trợ đi đến xã C nhanh nhất?
- A.
  \(AD = 5\sqrt 3 km\)
- B.
  \(AD = 2\sqrt 5 km\)
- C.
  \(AD = 5\sqrt 2 km\)
- D.
  \(AD = 3\sqrt 5 km\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: D
Ta tìm vị trí điểm D để đoàn cứu trợ đi từ A đến C nhanh nhất.

Đặt \(AD = x{\rm{ }}\left( {x \ge 5} \right)\)

Thời gian thèo thuyền từ A đến D: x/4

Có \(BD = \sqrt {{x^2} - 25} ,DC = 7 - \sqrt {{x^2} - 25} \)

Thời gian đi bộ đi từ D đến C: \(\frac{{7 - \sqrt {x{}^2 - 25} }}{6}\)

Thời gian đi từ A đến C là: \(f(x) = \frac{x}{4} + \frac{{7 - \sqrt {{x^2} - 25} }}{6}\) Ta tìm thấy GTNN của f(x)

Điều kiện xác định \(x \ge 5\)

\(\begin{array}{l}
f(x) = \frac{1}{{12}}\left( {3x + 14 - 2\sqrt {{x^2} - 25} } \right)\\
f'(x) = \frac{1}{{12}}\left( {3 - \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - 25} }}} \right)\\
f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} - 25} = 2x{\rm{ }}\left( {x \ge 5} \right)\\
\Leftrightarrow 9\left( {{x^2} - 25} \right) = 4{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 45 \Leftrightarrow x = 3\sqrt 5 \,\,\left( {do\,\,x \ge 5} \right)
\end{array}\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên f(x) đạt GTNN khi \(x = 3\sqrt 5 \)

Lúc đó \(AD = 3\sqrt 5 (km)\)

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải