-
Câu hỏi:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O) bán kính bằng a. Biết rằng AC ⊥ BD. Khi đó để AB + CD đạt giá trị lớn nhất thì:
-
A.
AC = AB
-
B.
AC = BD
-
C.
DB = AB
-
D.
Không có đáp án nào đúng
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: B
Vẽ đường kính CE của đường tròn (O).
Ta có \(\widehat {EAC} = {90^0},\widehat {EDC} = {90^0}\)
(góc nội tiếp chắn đường kính ECEC ).
Từ đó ta có AE⊥AC. Mặt khác theo giả thiết AC⊥BD.
Kéo theo AE//BD. Vậy AEDB là hình thang.
Do hình thang AEDB nội tiếp (O) nên nói phải là hình thang cân.
Kéo theo AB = DE (các cạnh bên hình thang cân).
Từ đó ta cóAB2 +CD2 = DE2 + DC2 = EC2=(2a)2 = 4a2 (do ΔEDC vuông tại D).
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho(AB2,BD2) ta có AB2 + BD2 ≥ 2AB.CD
Kéo theo(AB+CD) 2 ≤ 2(4a2) = 8a2
⇒ AB + CD ≤ 2√2a.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD
Xét tam giác ΔABI, ΔDCI có AB = CD, \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AD), \(\widehat {BAC} = \widehat {DCB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung BC).
Do đó ΔABI = ΔDCI (g.c.g.)
Kéo theo AI = ID, IB = IC. Suy ra AC = AI + IC = ID + IB = BD.
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Hãy tính độ dài OI theo R:
- Từ M kẻ tiếp tuyến MA ) và MB với (O) (A,B là các tiếp điểm). Số đo góc \(\widehat {AOM}\) là:
- Tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O). Tính số đo cung AC lớn.
- Hãy tính \(\widehat {AMO}; \widehat {BOM}\).
- Cho đường tròn (O;R) và hai dây MN. Chọn đáp án đúng.
- Cho đường tròn ( (O;R) và hai dây AB. So sánh các dây CD; AB.
- Trong các cung nhỏ AB; BC; AC, cung nào là cung lớn nhất?
- Chọn khẳng định sai về đường tròn
- Cho tam giác ABC có đường cao AH. Khi đó tích AB.AC bằng
- E là điểm đối xứng với A qua D. Góc AEB bằng bao nhiêu độ?
- Gọi E là điểm đối xứng với A qua D. Tam gíac ABE là hình gì?
- Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H . vẽ đường kính AF. Chọn câu đúng?
- Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp (O;R). Tam giác AMB đồng dạng với tam giác.
- Từ C kẻ CM//xy (M thuộc AB) . Chọn câu đúng.
- Từ B kẻ BM//xy (M thuộc AC) . Khi đó tích AM.AC bằng bao nhiêu?
- I là trung điểm MA, K là giao điểm của BI với (O). Tam giác IKA đồng dạng với tam giác:
- Hãy tính độ dài BC biết OA = 9cm, O'A = 4cm
- Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N cắt các đường thẳng AB tại I. Chọn đáp án đúng.
- Gọi S là giao điểm của AD và BC, I là giao điểm của AC và BD. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- Nối BE cắt AD và AC lần lượt tại I và tại K, nối DE cắt AC tại J. Kết luận nào đúng?
- Cho tam giácABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Xét các khẳng định sau đúng hay sai?
- Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB. Quỹ tích các điểm I là:
- Cho hình bình hành ABCD , hai đường chéo cắt nhau tại I. Chọn khẳng định đúng.
- Tìm quỹ tích các điểm M nằm trong tam giác đó sao cho \( 2M{A^2} = M{B^2} - M{C^2}\).
- Biết \(\widehat {BCA} = {30^0}\). Số đo góc \(\widehat {ADH}\) là:
- Khi đó để AB + CD đạt giá trị lớn nhất thì:
- Khi đó đường thẳng đối xứng với đường thẳng BF qua đường thẳng BD cắt AC tại N thì:
- Tiếp tuyến của đường tròn này tại I cắt AD và BC lần lượt M và N. Chọn câu sai:
- Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). khi đó R bằng
- Tìm vị trí của M để tứ giác ABDC có chu vi nhỏ nhất.
- Tính độ dài cạnh AB của bát giác.
- Tính tỉ số R/r là:
- Tính số đo của cung AB không chứa điểm C.
- Tính \(\widehat {AOB}\) khi biết có độ dài \(l = \dfrac{{\pi R}}{4}\).
- Cho cung AB trên đường tròn (O ; R). Tính bán kính R của đường tròn.
- Biết độ dài cung 60° bằng 6π (cm). Tính bán kính đường tròn
- Cho đường tròn tâm O có chu vi là 4π. Tính diện tích hình tròn?
- Cho đường tròn tâm O. Biết diện tích hình quạt tròn cung 30° là 3π. Tính bán kính đường tròn?
- Tính diện tích của hình hoa 4 cánh giới hạn bởi các đường tròn có bán kính bằng a, tâm là các đỉnh của hình vuông.
- Độ dài của các cung AB,BC,CA đều bằng \(4\pi\). Diện tích của tam giác đều ABC là: