TXĐ: D = R\{-1} 

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = x + m \Leftrightarrow 2x - 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {x + m} \right) \Leftrightarrow {x^2} + (m - 1)x + m + 1 = 0\) (1).

Đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt <=> phương trình (1) có hai nghiệm phân

biệt khác -1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta  = {(m - 1)^2} - 4(m + 1) = {m^2} - 6m - 3 > 0\\
{( - 1)^2} + (m - 1).( - 1) + m + 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 3 + 2\sqrt 3 \\
m < 3 - 2\sqrt 3 
\end{array} \right.\\
3 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 3 + 2\sqrt 3 \\
m < 3 - 2\sqrt 3 
\end{array} \right.\) 

Gọi tọa độ giao điểm \(A\left( {{x_1};{x_1} + m} \right),B\left( {{x_2};{x_2} + m} \right)\) với \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của (1).

Khi đó \(A{B^2} = 2{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} \Rightarrow AB \le 4 \Leftrightarrow A{B^2} \le 16 \Leftrightarrow 2{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} \le 16\) 

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} \le 8 \Leftrightarrow {\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} - 4x{}_1{x_2} \le 8\\
 \Leftrightarrow {(1 - m)^2} - 4(m + 1) \le 8 \Leftrightarrow {m^2} - 6m - 3 - 8 \le 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} - 6m - 11 \le 0 \Leftrightarrow 3 - 2\sqrt 5  \le m \le 3 + 2\sqrt 5 
\end{array}\) 

Kết hợp với \(\left[ \begin{array}{l}
m > 3 + 2\sqrt 3 \\
m < 3 - 2\sqrt 3 
\end{array} \right.\) ta được \(\left[ \begin{array}{l}
3 + 2\sqrt 3  < m < 3 + 2\sqrt 5 \\
3 - 2\sqrt 5  \le m \le 3 - 2\sqrt 3 
\end{array} \right.\) 

Mà m nguyên dương nên m = 7.

Vậy chỉ có duy nhất 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.