OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE
  • Câu hỏi:

    Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (m; n) sao cho \(m + n \le 10\) và ứng với mỗi cặp (m;n) tồn tại đúng 3 số thực \(a \in \left( { - 1;1} \right)\) thỏa mãn \(2{a^m} = n\ln \left( {a + \sqrt {{a^2} + 1} } \right)\)?

    • A. 
      7
    • B. 
      8
    • C. 
      10
    • D. 
      9

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: D

    Ta có \(2{a^m} = n\ln \left( {a + \sqrt {{a^2} + 1} } \right) \Leftrightarrow \frac{{2{a^m}}}{n} = \ln \left( {a + \sqrt {{a^2} + 1} } \right)\).

    Xét hai hàm số \(f\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\) và \(g\left( x \right) = \frac{2}{n}{x^m}\) trên (-1;1).

    Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} > 0\) nên f(x) luôn đồng biến và \(f\left( { - x} \right) = \ln \left( { - x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = \ln \left( {\frac{1}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}} \right) = - \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = - f\left( x \right)\) nên f(x) là hàm số lẻ.

    + Nếu m chẵn thì g(x) là hàm số chẵn và có bảng biến thiên dạng

    Suy ra phương trình có nhiều nhất 2 nghiệm, do đó m lẻ.

    + Nếu m lẻ thì hàm số g(x) là hàm số lẻ và luôn đồng biến.

    Ta thấy phương trình luôn có nghiệm x = 0. Dựa vào tính chất đối xứng của đồ thị hàm số lẻ, suy ra phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên (-1;1) khi có 1 nghiệm trên (0;1), hay \(f\left( 1 \right) > g\left( 1 \right) \Leftrightarrow \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right) < \frac{2}{n} \Leftrightarrow n < \frac{2}{{\ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right)}} \approx 2,26 \Rightarrow n \in \left\{ {1;2} \right\}\).

    Đối chiếu điều kiện, với n = 1 suy ra \(m \in \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}\), có 5 cặp số thỏa mãn

    Với n = 2 thì \(m \in \left\{ {1;3;5;7} \right\}\) có 4 cặp số thỏa mãn.

    Vậy có 9 cặp số thỏa mãn bài toán.

    Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

ADSENSE/
QUẢNG CÁO
 

 

CÂU HỎI KHÁC

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12