OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE
  • Câu hỏi:

    Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(\frac{{\sqrt 3 a}}{2}\) và O là tâm của đáy. Gọi M, N, P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCD) và (SDA). Thể tích của khối chóp O.MNPQ bằng

    • A. 
      \(\frac{{{a^3}}}{{48}}\)
    • B. 
      \(\frac{{2{a^3}}}{{81}}\)
    • C. 
      \(\frac{{{a^3}}}{{81}}\)
    • D. 
      \(\frac{{{a^3}}}{{96}}\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: D

    Gọi M', N', P', Q' lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

    Ta có \(AB \bot OM'\) và \(AB \bot SO\) nên \(AB \bot \left( {SOM'} \right)\).

    Suy ra \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SOM'} \right)\) theo giao tuyến SM'.

    Theo giả thiết ta có \(OM \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(OM \bot SM'\), do đó M là hình chiếu vuông góc của O trên SM'.

    Tương tự như vậy: N, P, Q là hình chiếu vuông góc của O lần lượt trên SN', SP', SQ'.

    Ta có \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{2{a^2}}}{4}} = \frac{a}{2} = OM'\).

    Suy ra tam giác SOM' vuông cân tại O nên M là trung điểm của SM'.

    Từ đó dễ chứng minh được MNPQ là hình vuông có tâm I thuộc SO và nằm trong mặt phẳng song song với (ABCD), với I là trung điểm của SO.

    Suy ra \(OI = \frac{1}{2}OS = \frac{a}{4}\).

    Do đó \(MN = \frac{1}{2}M'N' = \frac{1}{4}AC = \frac{{\sqrt 2 a}}{4}\).

    Thể tích khối chóp O.MNPQ bằng \(\frac{1}{3}{S_{MNPQ}}.OI = \frac{1}{3}.M{N^2}.OI = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{8}.\frac{a}{4} = \frac{{{a^3}}}{{96}}\).

    Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

ADSENSE/
QUẢNG CÁO
 

 

CÂU HỎI KHÁC

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12