-
Câu hỏi:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm \(A(3; - 1),{\rm{ }}B\left( {2,\,\,5} \right),{\rm{ }}C( - 2;3).\)
a. Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b. Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Tìm tọa độ điểm E sao cho C là trọng tâm của tam giác ABE.
c. Tìm tọa độ điểm M trên cạnh CB và điểm N trên cạnh CA sao cho MN song song với AB và diện tích tứ giác ABMN bằng 8 lần diện tích tam giác CMN.
Lời giải tham khảo:
a. Ta có \(\overrightarrow {AB} = (4;\,2),\,\,\overrightarrow {AC} = ( - 5;\, - 4)\)
Vì \(\frac{4}{{ - 5}} \ne \frac{2}{{ - 4}}\) nên \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương hay A, B, C không thẳng hàng
Vậy A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác
b. Gọi D(x;y). Tứ giác ABCD là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \)
\(\overrightarrow {AD} = (x + 2;\,y - 3) ;\,\,\,\overrightarrow {BC} = (1;\, - 6)\)
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 = 1\\
y - 3 = - 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
y = - 3
\end{array} \right.\) Vậy \(D( - 1;\,\, - 3)\)Vì A là trọng tâm tam giác BCE nên ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}
3{x_A} = {x_B} + {x_C} + {x_E}\\
3{y_A} = {y_B} + {y_C} + {y_E}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_E} = 3{x_A} - ({x_B} + {x_C}) = - 11\\
{y_E} = 3{y_A} - ({y_B} + {y_C}) = 5
\end{array} \right.\) Vậy \(E( - 11;\,\,5)\)c. Theo bài ra ta có diện tích tam giác BCA bằng 9 lần diện tích tam giác BMN
và tam giác BCA đồng dạng với tam giác BMN
Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow {BA} = 3\overrightarrow {BN} ;\overrightarrow {BC} = 3\overrightarrow {BM} \)
Gọi N(x;y). Ta có \(\overrightarrow {BA} = (4;\,2);\,\,\,\overrightarrow {BN} = (x - 2;y - 5)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 = \frac{4}{3}\\
y - 5 = \frac{2}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{10}}{3}\\
y = \frac{{17}}{3}
\end{array} \right.\) . Vậy \(N\left( {\frac{{10}}{3};\frac{{17}}{3}} \right)\)Gọi M(x;y). Ta có \(\overrightarrow {BC} = (1;\, - 6);\,\,\,\overrightarrow {BM} = (x - 2;y - 5)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 = \frac{1}{3}\\
y - 5 = - 2
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{7}{3}\\
y = 1
\end{array} \right.\) . Vậy \(M\left( {\frac{7}{3};1} \right)\)Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Chứng minh rằng với 4 điểm bất kì A, B, C, D ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \)
- Phân tích vectơ \(\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {MP} \) theo 2 vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) biết M, N, P là các điểm định bởi \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \,;\,\,\overrightarrow {NB} = 2\overrightarrow {AN} \,;\,\,\overrightarrow {BP} = 2\overrightarrow {BC} \)
- Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác biết ba điểm \(A(3; - 1),{\rm{ }}B\left( {2,\,\,5} \right),{\rm{ }}C( - 2;3).\)