OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE
  • Câu hỏi:

    Cho \(x,y \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) thỏa mãn \(\cos 2x + \cos 2y + 2\sin \left( {x + y} \right) = 2.\) Tìm GTNN của

    \(P = \frac{{{{\sin }^4}x}}{y} + \frac{{{{\cos }^4}y}}{x}\) 

    • A. 
      \(\min P = \frac{3}{\pi }\)
    • B. 
      \(\min P = \frac{2}{\pi }\)
    • C. 
      \(\min P = \frac{5}{\pi }\)
    • D. 
      \(\min P = \frac{2}{{3\pi }}\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: B

    \(P = \frac{{{{\sin }^4}x}}{y} + \frac{{{{\cos }^4}y}}{x} \ge \frac{{{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}y} \right)}^2}}}{{x + y}} \ge \frac{1}{{x + y}}\) (1)

    Ta có: \(\cos 2x + \cos 2y + 2\sin (x + y) = 2 \Leftrightarrow 2cos\left( {x + y} \right).\cos \left( {x - y} \right) + 2\sin \left( {x + y} \right) = 2\) 

    \( \Leftrightarrow \cos \left( {x + y} \right).\cos \left( {x - y} \right) = 1 - \sin \left( {x + y} \right)\) 

    Mà \(1 - \sin \left( {x + y} \right) \ge 0,\forall x,y;\cos \left( {x - y} \right) > 0,\forall x,y \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \cos \left( {x + y} \right) \ge 0\) 

    \( \Rightarrow 0 < x + y \le \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{1}{{x + y}} \ge \frac{2}{\pi }\) (2)

    Từ (1), (2), suy ra: \(P \ge \frac{2}{\pi },\forall x,y \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) 

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{{{\sin }^2}x}}{y} = \frac{{{{\cos }^2}y}}{x}\\
    {\sin ^2}x + {\cos ^2}y = 1\\
    x + y = \frac{\pi }{2}
    \end{array} \right. \Rightarrow x = y = \frac{\pi }{4}\) 

    Vậy \({P_{\min }} = \frac{2}{\pi }\) khi và chỉ khi \(x = y = \frac{\pi }{4}.\) 

    Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

ADSENSE/
QUẢNG CÁO
 

 

CÂU HỎI KHÁC

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12