OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE
  • Câu hỏi:

    Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh bằng 1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm S và trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Tính thể tích nhỏ nhất Vmin của khối tứ diện SAMN.

    • A. 
      \({V_{\min }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{27}}\)
    • B. 
      \({V_{\min }} = \frac{4}{9}\)
    • C. 
      \({V_{\min }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{18}}\)
    • D. 
      \({V_{\min }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{36}}\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    Do SABC là tứ diện đều, G là trọng tâm tam giác ABC

    \( \Rightarrow SG \bot (ABC)\) 

    => Thể tích khối tứ diện SAMN: \(V = \frac{1}{3}.SG.{S_{AMN}}\)

    +)  Tam giác ABC đều, cạnh bằng 1

    \( \Rightarrow AJ = \frac{{1.\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AG = \frac{2}{3}.AJ = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\) 

    Tam giác SAG vuông tại \(G \Rightarrow SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}}  = \sqrt {1 - \frac{1}{3}}  = \sqrt {\frac{2}{3}} \) 

    +) Diện tích tam giác AMN:

    \({S_{AMN}} = \frac{1}{2}.AN.AM.\sin A = \frac{1}{2}.AN.AM.\sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.AN.AM\) 

    Ta có \(\frac{{AB}}{{AM}} + \frac{{AC}}{{AN}} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{AM}} + \frac{1}{{AN}} = 3\) 

    Mà \(\frac{1}{{AM}} + \frac{1}{{AN}} \ge \frac{2}{{\sqrt {AM.AN} }} \Rightarrow 3 \ge \frac{2}{{\sqrt {AM.AN} }} \Rightarrow \frac{{\sqrt {AM.AN} }}{2} \ge \frac{1}{3} \Rightarrow AM.AN \ge \frac{4}{9}\) 

    \(\begin{array}{l}
     \Rightarrow {S_{AMN}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.AN.AM \ge \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\frac{4}{9} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}\\
     \Rightarrow {V_{S.AMN}} \ge \frac{1}{3}.\sqrt {\frac{2}{3}} .\frac{{\sqrt 3 }}{9} = \frac{{\sqrt 2 }}{{27}}
    \end{array}\) 

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(AM = AN = \frac{2}{3}\) 

    \( \Rightarrow {\left( {{V_{SAMN}}} \right)_{\min }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{27}}\) khi và chỉ khi \(AM = AN = \frac{2}{3}\) hay MN là đường thẳng qua G song song với BC

     

     

    Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

ADSENSE/
QUẢNG CÁO
 

 

CÂU HỎI KHÁC

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12