Gọi K và H lần lượt là hình chiếu của S lên BC và AK

Ta có: \(\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{K^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{{141}}{{400}}\)

\( \Rightarrow SH = \frac{{20}}{{\sqrt {141} }}\) và thể tích \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}SA.SB.SC = \frac{1}{6}.2.4.5 = \frac{{20}}{3}\)

Mặt khác \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{{20}}{3} \Leftrightarrow {S_{ABC}} = \frac{{\frac{{20}}{3}.3}}{{\frac{{20}}{{\sqrt {141} }}}} = \sqrt {141} .\)