Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m,\) có đồ thị \(\left( C \right)\) với \(m\) là tham số thực. Gọi \(A\) là điểm thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) có hoành độ bằng 1. Tìm \(m\) để tiếp tuyến \(\Delta \) với đồ thị \(\left( C \right)\) tại \(A\) cắt đường tròn \(\left( \gamma \right){{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4\) tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m,\) có đồ thị \(\left( C \right)\) với \(m\) là tham số thực. Gọi \(A\) là điểm thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) có hoành độ bằng 1. Tìm \(m\) để tiếp tuyến \(\Delta \) với đồ thị \(\left( C \right)\) tại \(A\) cắt đường tròn \(\left( \gamma \right){{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4\) tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
- A.
  \(-\frac{15}{16}.\)
- B.
  \(\frac{15}{16}.\)
- C.
  \(-\frac{17}{16}.\)
- D.
  \(\frac{17}{16}.\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: D
\(y'=4{{x}^{3}}-4mx,y'\left( 1 \right)=4-4m,y\left( 1 \right)=1-m.\) Ta có điểm \(A\left( 1;1-m \right).\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\left( 1;1-m \right)\) là

\(y=y'\left( 1 \right)\left( x-1 \right)+1-m\Rightarrow y=\left( 4-4m \right)\left( x-1 \right)+1-m\Rightarrow y=\left( 4-4m \right)x+3m-3\) suy ra phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) là \(\left( 4-4m \right)x-y+3m-3=0.\)

\(MN=2MH=2\sqrt{I{{M}^{2}}-I{{H}^{2}}}=2\sqrt{4-I{{H}^{2}}}\).

Ta có \(MN\) nhỏ nhất khi \(IH\) lớn nhất. Ta có \(IH=d\left( I,\Delta \right)=\frac{\left| m \right|}{\sqrt{{{\left( 4-4m \right)}^{2}}+1}}.\)

\(IH\) lớn nhất khi \(I{{H}^{2}}\) lớn nhất hay \(\frac{{{m}^{2}}}{16{{m}^{2}}-32m+17}\) lớn nhất.

Xét hàm \(f\left( m \right)=\frac{{{m}^{2}}}{16{{m}^{2}}-32m+17}\) suy ra \(f'\left( m \right)=\frac{-32{{m}^{2}}+34m}{{{\left( 16{{m}^{2}}-32m+17 \right)}^{2}}}.\)

Từ bảng ta có \(IH\) lớn nhất khi \(m=\frac{17}{16}.\)

Vậy dây cung \(MN\) nhỏ nhất khi \(m=\frac{17}{16}.\)

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải