a) Vỡi, y là hai số dương \(\frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{x} \ge x + y \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} \ge xy\left( {x + y} \right).\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) \ge xy\left( {x + y} \right).\)

\({x^2} - xy + {y^2} \ge xy \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) (hiển nhiên)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y > 0

b) 

Giả thiết phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \(m,n\left( {0 \le m \le 1,0 \le n \le 1} \right)\) nên \(a \ne 0.\). Theo định lý Viete, ta có \(m + n =  - \frac{b}{a}\) và \(m.n = \frac{c}{a}\)

Từ đó suy ra: \(M = \frac{{(a - b)(2a - c)}}{{a(a - b + c)}} = \frac{{\left( {1 - \frac{b}{a}} \right)\left( {2 - \frac{c}{a}} \right)}}{{1 - \frac{b}{a} + \frac{c}{a}}} = \frac{{\left( {1 + m + n} \right)\left( {2 - mn} \right)}}{{1 + m + n + mn}}.\)

Vì \(2 - mn \le 2\) và \(mn \ge 0\) nên  \(M \le \frac{{\left( {1 + m + n} \right).2}}{{1 + m + n}} = 2.\)

Vậy giá trị lớn nhất của M là  đạt được khi mn = 0 hay c = 0

Do \(0 \le m \le 1,0 \le n \le 1\) nên \(mn \le 1\), suy ra:

\(m\left( {n - 1} \right) + n\left( {m - 1} \right) + \left( {mn - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow mn \le \frac{1}{3}\left( {1 + m + n} \right).\)

Do đó: \(M \ge \frac{{1 + m + n}}{{1 + m + n + \frac{1}{3}\left( {1 + m + n} \right)}} = \frac{3}{4}.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là \(\frac{3}{4}\) đạt được khi m = n = 1 hay a + b + c = 0 và a = c