Xác định giá trị cảm kháng và dung kháng khi mạch xảy ra cộng hưởng

XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CẢM KHÁNG VÀ DUNG KHÁNG KHI MẠCH XẢY RA CỘNG HƯỞNG

1. Với hai giá trị của cuộn cảm L₁ và L₂ mạch có cùng công suất. Tìm L để P_max.

Với hai giá trị của cuộn cảm L₁ và L₂ mạch có cùng công suất

P₁ = P₂ ⇒  Z₁ = Z₂

⇒ |Z_L1 -Z_C| = | Z_L2 - Z_C|

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {Z_C} = \frac{{{Z_{L1}} + {Z_{L2}}}}{2}\\ \Rightarrow {L_1} + {L_2} = \frac{2}{{{Z_C}}} = \frac{2}{{\omega C}} \end{array}\)

Với  L mạch có công suất cực đại (mạch xảy ra cộng hưởng) Z_L = Z_C suy ra:

\({Z_L} = \frac{{{Z_{L1}} + {Z_{L2}}}}{2} \Rightarrow L = \frac{{{L_1} + {L_2}}}{2}\)

Câu 1: Cho mạch điện RLC mắc nối tiếp theo thứ tự R, L, C trong đó cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được, điện trở thuần R = 50W. Đặt vào hai đầu đoạn mạch hiệu điện thế xoay chiều có tần số f = 50Hz. Thay đổi L người ta thấy khi L = L₁ và khi \(L = {L_2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{L_1}\) thì công suất tiêu thụ trên đoạn mạch như nhau nhưng cường độ dòng điện tức thời vuông pha nhau. Giá trị L₁ và điện dung C lần lượt là bao nhiêu ?

Hướng dẫn:

Khi công suất tiêu thụ trên đoạn mạch như nhau:

P₁ = P₂ ⇒ I₁ = I₂

⇒ Z₁ = Z₂

⇒ (Z_L1 – Z_C)² = (Z_L2 – Z_C)².

Do Z_L1  \(\ne \) Z_L2 nên 

Z_L1 – Z_C = Z_C – Z_L2 = Z_C \(- \frac{{\sqrt 3 }}{2}{Z_{L1}}\)

\( \Rightarrow \left( {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}} \right){Z_{L1}}\)= 2Z_C      

Ta có:  

\(\left\{ \begin{array}{l} \tan {\varphi _1} = \frac{{{Z_{L1}} - {Z_C}}}{R} = \left( {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{4}} \right)\frac{{{Z_{L1}}}}{R}\\ \tan {\varphi _2} = \frac{{{Z_{L2}} - {Z_C}}}{R} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}{L_1} - {Z_C}}}{R} = \left( {\frac{{ - 2 + \sqrt 3 }}{4}} \right)\frac{{{Z_{L1}}}}{R} \end{array} \right.\)

Cường độ dòng điện tức thời vuông pha nhau nên

\({L_1} = \frac{{{Z_{L1}}}}{\omega } = \frac{{200}}{{100\pi }} = \frac{2}{\pi }H.\)

Dung kháng của tụ:

\(\begin{array}{l} {Z_C} = \left( {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}} \right){Z_{L1}} = \left( {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}} \right).200 = 5\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\Omega \\ \Rightarrow C = \frac{1}{{100\pi .5\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{5,{{36.10}^{ - 4}}}}{\pi }F. \end{array}\)

2. Với hai giá trị của tụ điện C₁ và C₂  mạch có cùng công suất. Tìm C để P_max 

Với hai giá trị của tụ điện C₁ và C₂ mạch có cùng công suất

P₁ = P₂ ⇒ Z₁ = Z₂

⇒ |Z_L1 -Z_C| = | Z_L2 - Z_C|

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {Z_L} = \frac{{{Z_{C1}} + {Z_{C2}}}}{2}\\ \Rightarrow \frac{1}{{{C_1}}} + \frac{1}{{{C_2}}} = 2{Z_L} = 2\omega L \end{array}\)

Với điện dung của tụ điện C mạch có công suất cực đại (mạch xảy ra cộng hưởng) Z_L = Z_C suy ra:

\(\begin{array}{l} {Z_C} = \frac{{{Z_{C1}} + {Z_{C2}}}}{2}\\ \Rightarrow \frac{2}{C} = \frac{1}{{{C_1}}} + \frac{1}{{{C_2}}}\\ \Rightarrow C = \frac{{2{C_1}{C_2}}}{{{C_1} + {C_2}}} \end{array}\)

Câu 1: Đặt điện áp xoay chiều u = 200\(\sqrt 2 \)cos 100πt (V) vào hai đầu đoạn mạch R, L, C mắc nối tiếp. Điện dung C của tụ điện thay đổi được. Khi C = C₁= \(\frac{{{{10}^{ - 4}}}}{{2\pi }}\)F và C = C₂ = \(\frac{{{{10}^{ - 4}}}}{\pi }\)F thì mạch có cùng công suất P = 400W.

a. Tính R và L.

b. Tính hệ số công suất của mạch ứng với C₁ , C₂.

Hướng dẫn:

+ Khi C = C₁= \(\frac{{{{10}^{ - 4}}}}{{2\pi }}\)F  ta có:  

\({Z_{{C_1}}} = \frac{1}{{\omega {C_1}}} = \frac{1}{{100\pi .\frac{{{{10}^{ - 4}}}}{{2\pi }}}} = 200\Omega .\)

Tổng trở:

 \({Z_1} = \sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_{{C_1}}}} \right)}^2}} = \sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - 200} \right)}^2}} .\)

Công suất:   

\({P_1} = I_1^2R = \frac{{{U^2}R}}{{{R^2} + {{\left( {{Z_L} - 200} \right)}^2}}}.\)  (1)

+ Khi C = C₂ = \(\frac{{{{10}^{ - 4}}}}{\pi }\)F ta có: 

\({Z_{{C_2}}} = \frac{1}{{\omega {C_2}}} = \frac{1}{{100\pi .\frac{{{{10}^{ - 4}}}}{\pi }}} = 00\Omega .\)

Tổng trở:

\({Z_2} = \sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_{{C_2}}}} \right)}^2}} = \sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - 100} \right)}^2}} .\)

Công suất:

\({P_2} = I_2^2R = \frac{{{U^2}R}}{{{R^2} + {{\left( {{Z_L} - 100} \right)}^2}}}\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có P₁ = P₂:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{U^2}R}}{{{R^2} + {{\left( {{Z_L} - 200} \right)}^2}}} = \frac{{{U^2}R}}{{{R^2} + {{\left( {{Z_L} - 100} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow {Z_L} = 150\Omega \\ \Rightarrow L = \frac{{{Z_L}}}{\omega } = \frac{{15}}{{10\pi }}H.\\ {P_1} = \frac{{{U^2}R}}{{{R^2} + {{\left( {{Z_L} - 200} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow 400 = \frac{{{{200}^2}.R}}{{{R^2} + {{\left( {150 - 200} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow R = 50\Omega . \end{array}\)

b. Hệ số công suất khi C = C₁ =\(\frac{{{{10}^{ - 4}}}}{{2\pi }}\) :

\(\begin{array}{l} \cos {\varphi _1} = \frac{R}{{{Z_1}}} = \frac{R}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - 200} \right)}^2}} }}\\ = \frac{{50}}{{\sqrt {{{50}^2} + {{\left( {150 - 200} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}. \end{array}\)

Hệ số công suất khi C = C₂ =\(\frac{{{{10}^{ - 4}}}}{\pi }\) :

\(\begin{array}{l} \cos {\varphi _2} = \frac{R}{{{Z_2}}} = \frac{R}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - 100} \right)}^2}} }}\\ = \frac{{50}}{{\sqrt {{{50}^2} + {{\left( {150 - 100} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}. \end{array}\)

Câu 2: Cho mạch điện RLC mắc nối tiếp theo thứ tự R, L, C trong đó cuộn dây thuần cảm có tụ điện C thay đổi được. Thay đổi C người ta thấy khi  \(C = {C_1} = \frac{{{{2.10}^{ - 4}}}}{\pi }F;C = {C_2} = \frac{{{{2.10}^{ - 4}}}}{{3\pi }}F\)  thì cường độ dòng điện trên đoạn mạch trong hai trường hợp là như nhau. Để công suất tiêu thụ của mạch đạt cực đại thì C có giá trị:

A.  \(\frac{{{{3.10}^{ - 4}}}}{{2\pi }}F\)          B.      \(\frac{{{{10}^{ - 4}}}}{{2\pi }}F\)     

 C.   \(\frac{{{{10}^{ - 4}}}}{\pi }F\)             D. \(\frac{{{{2.10}^{ - 4}}}}{\pi }F\)

Hướng dẫn:

Cách giải 1: Ta có:

\(\begin{array}{l} {I_1} = {I_2}\\ \Leftrightarrow \frac{U}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_{{C_1}}}} \right)}^2}} }} = \frac{U}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_{{C_2}}}} \right)}^2}} }}\\ \Leftrightarrow {\left( {{Z_L} - {Z_{{C_1}}}} \right)^2} = {\left( {{Z_L} - {Z_{{C_2}}}} \right)^2}\\ {Z_{{C_1}}} \ne {Z_{{C_2}}} \Rightarrow {Z_L} - {Z_{{C_1}}} = - \left( {{Z_L} - {Z_{{C_2}}}} \right)\\ \Rightarrow {Z_L} = \frac{{{Z_{{C_1}}} + {Z_{{C_2}}}}}{2}\,\,\,\,\,(1) \end{array}\)

Khi P = P_max thì mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng điện :

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {Z_L} = {Z_C}\,\,\,(2)\\ (1)\, + (2) \to {Z_C} = \frac{{{Z_{{C_1}}} + {Z_{{C_2}}}}}{2}\\ \Rightarrow \frac{1}{C} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{C_1}}} + \frac{1}{{{C_2}}}} \right)\\ \Rightarrow C = \frac{{2\left( {{C_1} + {C_2}} \right)}}{{{C_1}{C_2}}}\\ = 2\left( {\frac{{\frac{{{{2.10}^{ - 4}}}}{\pi } + \frac{{{{2.10}^{ - 4}}}}{{3\pi }}}}{{\frac{{{{2.10}^{ - 4}}}}{\pi }.\frac{{{{2.10}^{ - 4}}}}{{3\pi }}}}} \right) = \frac{{{{2.10}^{ - 4}}}}{\pi }F \end{array}\)

Chọn D

Cách giải 2: Ta có:

\(I = \frac{U}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} }} = \frac{U}{{\sqrt {Z_C^2 - 2{Z_L}{Z_C} + {R^2} + Z_L^2} }}\)

Nhận thấy, I phụ thuộc kiểu hàm bậc hai theo Z_C, vì vậy phải có mối quan hệ hàm bậc hai:

\(\begin{array}{l} {x_{CT}} = \frac{1}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {Z_C} = \frac{{{Z_{{C_1}}} + {Z_{{C_2}}}}}{2}\\ \Rightarrow \frac{1}{C} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{C_1}}} + \frac{1}{{{C_2}}}} \right)\\ \Rightarrow C = \frac{{2\left( {{C_1} + {C_2}} \right)}}{{{C_1}{C_2}}}\\ = 2\left( {\frac{{\frac{{{{2.10}^{ - 4}}}}{\pi } + \frac{{{{2.10}^{ - 4}}}}{{3\pi }}}}{{\frac{{{{2.10}^{ - 4}}}}{\pi }.\frac{{{{2.10}^{ - 4}}}}{{3\pi }}}}} \right) = \frac{{{{2.10}^{ - 4}}}}{\pi }F \end{array}\)

 

Chọn D

...

---Để xem tiếp nội dung phần Các bài tập minh họa có đáp án, các em vui lòng đăng nhập vào trang hoc247.net để xem online hoặc tải về máy tính---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Xác định giá trị cảm kháng và dung kháng khi mạch xảy ra cộng hưởng. Để xem toàn bộ nội dung các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập .

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Tổng hợp chuyên đề lý thuyết Dao động cơ học 2018

• Rèn luyện kỹ năng lập phương trình Dao động điều hòa Vật lý 12

• Bài tập và công thức tính nhanh về Con lắc lò xo, Con lắc đơn trong DĐĐH

Chúc các em học tập tốt !