OPTADS360
AANETWORK
LAVA
YOMEDIA

Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 5 Bài 1 Khái niệm đạo hàm

Banner-Video
https://m.hoc247.net/docview/viewfile/1.1.114/web/?f=https://m.hoc247.net/tulieu/2019/20190711/.pdf?r=9919
ADSENSE/
QUẢNG CÁO
 
Banner-Video

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài tập Toán 11 nâng cao Chương 5 Bài 1 Khái niệm đạo hàm được hoc247 biên soạn và tổng hợp, nội dung bám sát theo chương trình SGK Toán 11 nâng cao giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải bài tập và ôn tập kiến thức hiệu quả hơn. 

 

 
 

Bài 1 trang 192 SGK Toán 11 nâng cao

Tìm số gia của hàm số y = x2 − 1 tại điểm x0 = 1 ứng với số gia ∆x, biết

a. ∆x = 1

b. ∆x = -0,1.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x2 − 1

Câu a: 

Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)

                      =f(2) − f(1) = 3 − 0 = 3

Câu b:

\(\begin{array}{l}
{\rm{\Delta }}y = f\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\\
 = f(0,9) - f(1) = {(0,9)^2} - 1 =  - 0,19
\end{array}\)


Bài 2 trang 192 SGK Toán 11 nâng cao

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0

\(\begin{array}{l}
a)\,\,y = 2x + 1,{x_0} = 2\\
b)\,\,y = {x^2} + 3x,{x_0} = 1
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

f(x) = 2x + 1, cho x0 = 2 một số gia Δx

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}\\
{ = f(2 + \Delta x) - f(2)}\\
{ = 2(2 + \Delta x) + 1 - 5 = 2\Delta x}\\
{ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 2 \Rightarrow f\prime (2) = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 2}
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})\\
 = f(1 + \Delta x) - f(1)\\
 = {(1 + \Delta x)^2} + 3(1 + \Delta x) - 4\\
 = 5\Delta x + {\Delta ^2}x\\
 \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 5 + \Delta x \Rightarrow \mathop {lim}\limits_{x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 5
\end{array}\)

Vậy f'(1) = 5


Bài 3 trang 192 SGK Toán 11 nâng cao

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0 (a là hằng số)

a) y = ax + 3

b) \(y = \frac{1}{2}a{x^2}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

f (x) = ax + 3, cho x0 một số gia Δx, ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})\\
 = a({x_0} + \Delta x) + 3 - (a{x_0} + 3) = a\Delta x\\
 \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = a \Rightarrow f'({x_0}) = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = a
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
f(x) = \frac{1}{2}a{x^2},\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})\\
 = \frac{1}{2}a{({x_0} + \Delta x)^2} - \frac{1}{2}ax_0^2\\
 = \frac{1}{2}a\Delta x(2{x_0} + \Delta x)\\
 \Rightarrow f\prime ({x_0}) = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\\
 = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{2}a(2{x_0} + \Delta x) = a{x_0}
\end{array}\)


Bài 4 trang 192 SGK Toán 11 nâng cao

Cho parabol y = x2 và hai điểm A(2 ; 4) và B(2 + ∆x ; 4 + ∆y) trên parabol đó.

a. Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết ∆x lần lượt bằng 1 ; 0,1 và 0,01.

b. Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: A(2;4); B(2+Δx,(2+Δx)2)

Hệ số góc của cát tuyến AB là :

\(k = \frac{{{{(2 + \Delta x)}^2} - 4}}{{2 + \Delta x - 2}} = \frac{{4\Delta x + \Delta {x^2}}}{{\Delta x}} = 4 + \Delta x\)

Nếu Δx = 1 thì k = 5

Nếu Δx = 0,1 thì k = 4,1

Nếu Δx = 0,01 thì k = 4,01

Câu b:

Hệ số góc tiếp tuyến của parabol tại A là :

\(\begin{array}{l}
k = y\prime (2) = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0}  = \frac{{f(2 + \Delta x) - f(2)}}{{\Delta x}}\\
 = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} (4 + \Delta x) = 4
\end{array}\)


Bài 5 trang 192 SGK Toán 11 nâng cao

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3,, biết

a. Tiếp điểm có hoành độ bằng -1

b. Tiếp điểm có tung độ bằng 8

c. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{x_0} =  - 1;{y_0} = {( - 1)^3} =  - 1\\
f({x_0}) = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\\
 = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{{({x_0} + \Delta x)}^3} - x_0^3}}{{\Delta x}}\\
 = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{3x_0^2\Delta x + 3{x_0}{{(\Delta x)}^2} + {\Delta ^3}x}}{{\Delta x}}\\
 = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} (3x_0^2 + 3{x_0}\Delta x + {\Delta ^2}x) = 3x_0^2
\end{array}\)

Với x0 = -1 ta có (13(1)2 = 3

Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại tiếp điểm có hoành độ bằng -1 là :

(13(1) <=> 3x2

Câu b:

Với \({y_0} = 8 = x_0^3 \Rightarrow {x_0} = 2\)

f′(2) = 3.22 = 12

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

y −8 = 12(x − 2) <=> y = 12x − 16

Câu c:

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ta có :

\(f\prime ({x_0}) = 3 \Leftrightarrow 3x_0^2 = 3 \Leftrightarrow {x_0} =  \pm 1\)

Với x0 = 1 ta có y0 = 1 và phương trình tiếp tuyến là :

y − 1 = 3(x − 1) hay y = 3x − 2

Với x0 = -1 ta có y0 = -1 và phương trình tiếp tuyến là :

y − (−1) = 3(x + 1) hay y = 3x + 2


Bài 6 trang 192 SGK Toán 11 nâng cao

Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là \(S = \frac{1}{2}g{t^2}\) , trong đó g=9,8m/s2 và t được tính bằng giây (s).

a. Tìm vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t đến t + ∆t với độ chính xác 0,001, biết t = 5 và ∆t lần lượt bằng 0,1 ; 0,01 ; 0,001.

b. Tìm vận tốc tại thời điểm t = 5.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Vận tốc trung bình của chuyển động là :

\(\begin{array}{l}
\frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \frac{{s(t + \Delta t) - s(t)}}{{\Delta t}}\\
 = \frac{1}{2}g.\frac{{{{(t + \Delta t)}^2} - {t^2}}}{{\Delta t}}\\
 = \frac{1}{2}g(2t + \Delta t)\\
 = \frac{1}{2}g.(10 + \Delta t)
\end{array}\)

Với Δt = 0,1 thì \(\frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \frac{1}{2}.g.10,1 = 49,49m/s\)

Với Δt = 0,01 thì \(\frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \frac{1}{2}.g.10,01 = 49,049m/s\)

Với Δt = 0,001 thì \(\frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \frac{1}{2}.g.10,001 = 49,0049m/s\)

Câu b:

Vận tốc tại thời điểm 

\(t = 5:v = S\prime (5) = \mathop {lim}\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \frac{1}{2}g.10 = 49m/s\)


Bài 7 trang 192 SGK Toán 11 nâng cao

Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x5trên R rồi suy ra f′(−1),f′(−2) và f′(2)

Hướng dẫn giải:

Với x0 ∈ R

Ta có:

\(\begin{array}{l}
f\prime ({x_0}) = \mathop {lim}\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {x_0}}  = \frac{{{x_5} - x_0^5}}{{x - {x_0}}}\\
 = \mathop {lim}\limits_{x \to {x_0}} ({x^4} + {x^3}{x_0} + {x^2}x_0^2 + xx_0^3 + x_0^4) = 5x_0^4\\
f\prime ( - 1) = 5;f\prime ( - 2) = 5.{( - 2)^4} = 80,f\prime (2) = 80
\end{array}\)


Bài 8 trang 192 SGK Toán 11 nâng cao

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau trên R.

a. y = ax2 (a là hằng số)

b. y = x3 + 2

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đặt  f(x) = y= ax2

Với x∈ R ta có:

\(\begin{array}{l}
f\prime ({x_0}) = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\\
 = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{a{{({x_0} + \Delta x)}^2} - ax_0^2}}{{\Delta x}}\\
 = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} a(2{x_0} + \Delta x) = 2a{x_0}
\end{array}\)

Câu b:

Đặt x= x3 

Với ∈ R ta có:

\(\begin{array}{l}
f\prime ({x_0}) = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\\
 = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{{({x_0} + \Delta x)}^3} + 2 - x_0^3 - 2}}{{\Delta x}}\\
 = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {{{({x_0} + \Delta x)}^2} + ({x_0} + \Delta x){x_0} + x_0^2} \right] = 3x_0^2
\end{array}\)


Bài 9 trang 192 SGK Toán 11 nâng cao

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau :

a) \(y = \frac{1}{{2x - 1}}\) với \(x \ne \frac{1}{2}\)

b) \(y = \sqrt {3 - x} \) với x < 3

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đặt \(f\left( x \right) = y = \frac{1}{{2x - 1}}\)

Với \({x_0} \ne \frac{1}{2}\) ta có:

\(\begin{array}{l}
f\prime ({x_0}) = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0}  = \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\\
 = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\frac{1}{{2{x_0} + 2\Delta x - 1}} - \frac{1}{{2{x_0} - 1}}}}{{\Delta x}}\\
 = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{ - 2\Delta x}}{{\Delta x(2{x_0} + 2\Delta x - 1)(2{x_0} - 1)}}\\
 = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0}  - 2(2{x_0} + 2\Delta x - 1)(2{x_0} - 1)\\
 = \frac{{ - 2}}{{{{(2{x_0} - 1)}^2}}}
\end{array}\)

Câu b:

Đặt f(x) = \(y = \sqrt {3 - x} \) 

Với x0 < 3, ta có:

\(\begin{array}{l}
f\prime ({x_0}) = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0}  = \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\\
 = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sqrt {3 - {x_0} - \Delta x}  - \sqrt {3 - {x_0}} }}{{\Delta x}}\\
 = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{ - 1}}{{\sqrt {3 - {x_0} - \Delta x}  - \sqrt {3 - {x_0}} }} = \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {3 - {x_0}} }}
\end{array}\)

 

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 11 Chương 5  Bài 1 Khái niệm đạo hàm được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 học tập thật tốt!

ADMICRO
NONE
OFF