Chuyên đề ôn thi THPT QG về bất phương trình mũ

Bất phương trình mũ là bất phương trình có dạng: \({a^x} > b\) hoặc \({a^x} \ge b;{a^x} < b;{a^x} \le b\) với \(0 < a \ne 1\)

Ta xét bất phương trình \({a^x} > b\)

TH1: Nếu \(b \le 0\) thì tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\)

TH2: Nếu \(b > 0\) thì bất phương trình tương đương với \({a^x} > {a^{{{\log }_a}b}}\)

+Với \(a > 1\) thì nghiệm của bất phương trình là \(x > {\log _a}b\)

+Với \(a < 1\) thì nghiệm của bất phương trình là \(x < {\log _a}b\)

• Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

• Tương tự với bất phương trình dạng: \(\left[ \begin{array}{l}{a^{f\left( x \right)}} \ge {a^{g\left( x \right)}}\\{a^{f\left( x \right)}} < {a^{g\left( x \right)}}\\{a^{f\left( x \right)}} \le {a^{g\left( x \right)}}\end{array} \right.\)

Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: \({a^M} > {a^N} \Leftrightarrow \left( {a – 1} \right)\left( {M – N} \right) > 0\)

• \({a^{f\left( x \right)}} > b \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\left\{\begin{gathered}a > 1 \hfill \\f\left( x \right) > {\log _a}b \hfill \\\end{gathered} \right. \hfill \\\left\{ \begin{gathered}0 < a < 1 \hfill \\f\left( x \right) < {\log _a}b \hfill \\\end{gathered} \right. \hfill \\\end{gathered} \right.\,\,(b > 0)\) hoặc \(\left\{ \begin{gathered}b < 0 \hfill \\f\left( x \right)\,\,\,có nghĩa \hfill \\\end{gathered} \right.\)

• Tương tự với bất phương trình dạng: \(\left[ \begin{array}{l}{a^{f\left( x \right)}} \ge b\\{a^{f\left( x \right)}} < b\\{a^{f\left( x \right)}} \le b\end{array} \right.\)

Ví dụ: Tập nghiệm của bất phương trình \({3^{4 – {x^2}}} \ge 27\) là:

A. \(\left[ { – 1;1} \right]\). 

B. \(\left( { – \infty ;1} \right]\). 

C. \(\left[ { – \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right]\). 

D. \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

Lời giải

Chọn A

Ta có: \({3^{4 – {x^2}}} \ge 27 \Leftrightarrow \)\({3^{4 – {x^2}}} \ge {3^3} \Leftrightarrow 4 – {x^2} \ge 3 \Leftrightarrow {x^2} \le 1\Leftrightarrow  – 1 \le x \le 1\).

Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình \({2^x} > {3^{x + 1}}\) là:

A. \(\left( { – \infty ;{{\log }_2}3} \right]\). 

B. \(\left( { – \infty ;{{\log }_{\frac{2}{3}}}3} \right)\). 

C. \(\emptyset \). 

D. \(\left( {{{\log }_{\frac{2}{3}}}3; + \infty } \right)\).

Lời giải

Chọn B

Ta có:\({2^x} > {3^{x + 1}} \Leftrightarrow {2^x} > {3.3^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} > 3 \Leftrightarrow x < {\log _{\frac{2}{3}}}3\).

Câu 2. Giải bất phương trình \(\frac{1}{9}{.3^{3x}} > 1\) .

A. \(x > \frac{2}{3}\) . 

B. \(x < \frac{2}{3}\). 

C. \(x > \frac{3}{2}\). 

D. \(x < \frac{3}{2}\).

Lời giải

Chọn A

Ta có \(\frac{1}{9}{.3^{3x}} > 1 \Leftrightarrow {3^{3x}} > {3^2} \Leftrightarrow x > \frac{2}{3}\).

Câu 3. Bất phương trình \({2^{{x^2} – 3x + 4}} \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x – 10}}\) có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?

A. 2. 

B. 4. 

C. 6. 

D. 3.

Lời giải

Chọn D

Ta có \({2^{{x^2} – 3x + 4}} \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x – 10}} \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 4 \le 10 – 2x \Leftrightarrow {x^2} – x – 6 \le 0 \Leftrightarrow – 2 \le x \le 3\).

Do đó, nghiệm nguyên dương của bất phương trình là \(\left\{ {1;2;3} \right\}\).

Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình \({2^x} + {2^{x + 1}} \le {3^x} + {3^{x – 1}}\)

A. \(x \in \left[ {2; + \infty } \right)\). 

B. \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\). 

C. \(x \in \left( { – \infty ;2} \right)\). 

D. \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Lời giải

Chọn A

Ta có: \({2^x} + {2^{x + 1}} \le {3^x} + {3^{x – 1}} \Leftrightarrow {3.2^x} \le \frac{4}{3}{.3^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} \ge \frac{9}{4} \Leftrightarrow x \ge 2\).

Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình \({3^x}.{x^2} + 54x + {5.3^x} > 9{x^2} + 6x{.3^x} + 45\) là:

A. \(\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) 

B. \(\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {2;5} \right)\) 

C. \(\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\) 

D. \(\left( {1;2} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).

Lời giải

Chọn D

Bất phương trình \({3^x}.{x^2} + 54x + {5.3^x} > 9{x^2} + 6x{.3^x} + 45\) tương đương với:

\(\left( {{3^x}.{x^2} – 9{x^2}} \right) + \left( { – 6x{{.3}^x} + 54x} \right) + \left( {{{5.3}^x} – 45} \right) > 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {{3^x} – 9} \right) – 6x\left( {{3^x} – 9} \right) + 5\left( {{3^x} – 9} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{3^x} – 9} \right)\left( {{x^2} – 6x + 5} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{3^x} – 9 > 0\\{x^2} – 6x + 5 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{3^x} – 9 < 0\\{x^2} – 6x + 5 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 2\\\left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 5\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 2\\1 < x < 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 5\\1 < x < 2\end{array} \right.\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(\left( {1;2} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).

Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình\(\frac{1}{{{2^{\sqrt {{x^2} – 2x} }}}} – \frac{{{2^x}}}{2} \le 0\)là:

A. \(\left[ {0;{\rm{ }}2} \right]\). 

B. \(\left( { – \infty ;{\rm{ }}1} \right]\). 

C. \(\left( { – \infty ;{\rm{ }}0} \right]\). 

D. \(\left[ {2; + \infty } \right)\).

Lời giải

Chọn D

Ta có:\(\frac{1}{{{2^{\sqrt {{x^2} – 2x} }}}} – \frac{{{2^x}}}{2} \le 0 \Leftrightarrow {2^{ – \sqrt {{x^2} – 2x} }} – {2^{x – 1}} \le 0 \Leftrightarrow {2^{ – \sqrt {{x^2} – 2x} }} \le {2^{x – 1}}\Leftrightarrow – \sqrt {{x^2} – 2x} \le x – 1\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} – 2x} \ge 1 – x \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 2x \ge 0\\1 – x \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 – x > 0\\{x^2} – 2x \ge {(1 – x)^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x \ge 2\).

Câu 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \)m\)để bất phương trình \({4^{{{\sin }^2}x}} + {5^{{{\cos }^2}x}} \le m{.7^{{{\cos }^2}x}}\) có nghiệm.

A. \(m \ge – \frac{6}{7}\). 

B. \(m \ge \frac{6}{7}\). 

C. \(m < \frac{6}{7}\). 

D. \(m < – \frac{6}{7}\).

Lời giải

Chọn B

Ta có \({4^{{{\sin }^2}x}} + {5^{{{\cos }^2}x}} \le m{.7^{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow 4 \cdot {\left( {\frac{1}{{28}}} \right)^{{{\cos }^2}x}} + {\left( {\frac{5}{7}} \right)^{{{\cos }^2}x}} \le m\).

Đặt \(t = {\cos ^2}x,t \in \left[ {0;1} \right]\) thì BPT trở thành: \(4 \cdot {\left( {\frac{1}{{28}}} \right)^t} + {\left( {\frac{5}{7}} \right)^t} \le m\).

Xét \(f\left( t \right) = 4.{\left( {\frac{1}{{28}}} \right)^t} + {\left( {\frac{5}{7}} \right)^t}\) là hàm số nghịch biến trên \(\left[ {0;1} \right]\).

Suy ra: \(f\left( 1 \right) \le f\left( t \right) \le f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \frac{6}{7} \le f\left( t \right) \le 5\).

Từ đó BPT có nghiệm \( \Leftrightarrow m \ge \frac{6}{7}\).

Câu 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \({9^x} – 2\left( {m + 1} \right){.3^x} – 3 – 2m > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}.\)

A. m tùy ý. 

B. \(m \ne – \frac{4}{3}.\) 

C. \(m < – \frac{3}{2}.\)

 D. \(m \le – \frac{3}{2}.\)

Lời giải.

Chọn D

Đặt \(t = {3^x}, t > 0\)

Phương trình trở thành \({t^2} – 2\left( {m + 1} \right)t – 3 – 2m > 0\)

ycbt \( \Leftrightarrow {t^2} – 2\left( {m + 1} \right)t – 3 – 2m > 0,\forall t > 0,\left( 1 \right)\)

ta có \(\Delta ‘ = {\left( {m + 2} \right)^2} \ge ,\forall m\)

Nếu \(\Delta ‘ = 0 \Leftrightarrow m = – 2\), khi đó từ \(\left( 1 \right)\)ta có \({\left( {2t + 1} \right)^2} > 0,\forall t \ne – \frac{1}{2}\)

Nếu \(m \ne – 2\) ta có \(\Delta ‘ > 0\)

khi đó \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm thỏa mãn ycbt khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ > 0\\\frac{S}{2} < 0\\P \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne – 2\\m < – 1\\m \le – \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le – \frac{3}{2}\)

Vậy \(m \le – \frac{3}{2}\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề ôn thi THPT QG về bất phương trình mũ. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề bất phương trình mũ và lôragit vận dụng cao ôn thi tốt nghiệp THPT

• Ứng dụng của đơn điệu trong giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình

Chúc các em học tốt!