Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Hà Huy Tập

TRƯỜNG THPT HÀ HUY TẬP

ĐỀ THI HSG LỚP 12 MÔN TOÁN Thời gian: 180 phút

 

Câu 1. (6,0 điểm)        

1. Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x - 2}}\) (C) và đường thẳng d:x - y - 1 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với d.

2. Tìm m để hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x + m + 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Câu 2. (4,0 điểm)

1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = \frac{{2{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^4}\frac{x}{2} + {{\cos }^4}\frac{x}{2}}}\).

2. Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} - {y^3} - 3\left( {2{x^2} - {y^2} + 2y} \right) + 15x - 10 = 0}\\ {\sqrt {2 - y} + \sqrt {3 - x} = 2x - 2} \end{array}} \right.\left( {x;y \in R} \right)\).

Câu 3. (4,0 điểm)

1. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được chọn từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 ; 8; 9. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn.

2. Trong mặt phẳng tọa độ  cho hai điểm A(0;9), B(3;6). Gọi D là miền nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} 2x - y + a \le 0\\ 6x + 3y + 5a \ge 0 \end{array} \right.\). Tìm tất cả các giá trị của a để \(AB \subset D\). 

Câu 4 . (4,0 điểm)

1. Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng  ần lượt lấy các điểm A', B', C' khác với S. Chứng minh rằng: \(\frac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.A'B'C'}}}} = \frac{{SA}}{{SA'}}.\frac{{SB}}{{SB'}}.\frac{{SC}}{{SC'}}\)

2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có \(AB = a,\,SA = a\sqrt 3 \). Gọi O là giao điểm của AC và BD, gọi G là trọng tâm tam giác SCD.

a) Tính thể tích khối chóp S.OGC.

b) Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC).

c) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SA và BG.

Câu 5. (2,0 điểm)

1. Cho phương trình \(\left( {m + 2} \right)\sqrt {x\left( {{x^2} + 1} \right)} - {x^2} + \left( {m - 6} \right)x - 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\). Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm thực.

2. Cho đa thức \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + ax + 1\) có nghiệm thực. Chứng minh rằng \({a^2} + {b^2} - 4b + 1 > 0\).

ĐÁP ÁN

Câu 1:

1. \(d:x - y - 1 = 0 \Leftrightarrow d:y = x - 1 \Rightarrow d\) có hệ số góc \({k_d} = 1\).

Xét hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x - 2}}\) có:

+ Tập xác định D = R \{1}.

+ \(y\prime = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}},{\rm{ }}\forall x \ne 1\).

Gọi đường thẳng \(\Delta\) là tiếp tuyến của (C) tại điểm \(M\left( {{x_0};\frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 1}}} \right)\) (với \({x_0} \ne 1\)).

\(\Delta\) có hệ số góc là \({k_\Delta } = \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\) và phương trình \(\Delta :y = \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}.x - \frac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 1}}\).

+ Giả sử \(\Delta //d\) ta được \( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 0\\ {x_0} = 2 \end{array} \right.\).

+ Thử lại:

· \({x_0} = 0 \Rightarrow \Delta :y = x + 3\) thỏa mãn \(\Delta //d\).  

· \({x_0} = 2 \Rightarrow \Delta :y = x - 1 \Rightarrow \Delta \equiv d\) không thỏa mãn.

Vậy tiếp tuyến cần tìm là \(\Delta :y = x + 3\).

2. \(y\prime = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {{m^2} - 1} \right),{\rm{ }}\forall x \in R\).

\(y\prime = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = m - 1\\ x = m + 1 \end{array} \right.\) (Hai nghiệm phân biệt với mọi m)

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow \left( {2; + \infty } \right) \subset \left( {m + 1; + \infty } \right) \Leftrightarrow m + 1 \le 2 \Leftrightarrow m \le 1\).

Vậy giá trị của m cần tìm là: \(m \le 1\).

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 1 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1. Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị (H) và đường thẳng \(d:\,y = \left( {{m^2} + 1} \right)x - 2\) ( với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},\,{x_2}\) sao cho biểu thức \(P = 12\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 11{x_1}{x_2}\) đạt giá trị lớn nhất.

Câu 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp các số thực:

1) \({x^4} - 6{x^3} + 6{x^2} + 9x = 2\sqrt {{x^2} - 3x} \).

2) \({7^x} - 6{\log _7}\left( {6x + 1} \right) - 1 = 0\).

Câu 3. Tìm hệ số của số hạng chứa x⁵ trong khai triển \({\left( {1 + x + {x^2}} \right)^n}\), biết n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức \(C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + ... + C_{2n}^{2n} = 512.\)

Câu 4. Cho tam giác ABC có AC = c, BC = a, CA = b, h_a là độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A và \(b + c = \frac{a}{2} + {h_a}\sqrt 3 \). Chứng minh rằng \(\Delta ABC\) đều. 

Câu 5. Một quả bóng cao su được thả rơi từ độ cao h = 18m. Sau mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên cao bằng \(\frac{3}{4}\) độ cao của lần rơi ngay trước đó. Giả sử quả bóng khi rơi và nảy đều theo phương thẳng đứng. Tính tổng độ dài quãng đường quả bóng đã di chuyển từ lúc được thả đến lúc không nảy nữa.

Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn tâm I có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5\), tam giác ABC nội tiếp đường tròn và đường phân giác trong góc A có phương trình x - y - 1 = 0. Biết rằng hai điểm A và I cách đều đường thẳng BC và điểm A có hoành độ dương. Tính diện tích tam giác ABC.

Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, chiều cao h không đổi. Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động trên hai cạnh BC, CD sao cho góc \(\widehat {MAN} = 45^\circ \). Đặt  BM = x. Tìm x theo a sao cho thể tích khối chóp S.AMN đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 8. Cho a, b, c là các số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện \(a \ge b \ge c > 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \frac{1}{2}\left( {\frac{b}{{a + b}} + \frac{c}{{c + b}}} \right) + \frac{{5a}}{{a + c}}\)

ĐÁP ÁN

Câu 1:

Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và d là: \(\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = \left( {{m^2} + 1} \right)x - 2\,\,\left( 1 \right)\), ĐK: \(x \ne 1\).

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} - \left( {{m^2} + 5} \right)x + 1 = 0\,\,\left( 2 \right)\).

Để đường thẳng d cắt (H) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {{m^2} + 5} \right)^2} - 4\left( {{m^2} + 1} \right) > 0\\ \left( {{m^2} + 1} \right){.1^2} - \left( {{m^2} + 5} \right).1 + 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {{m^2} + 3} \right)^2} + 12 > 0\\ - 3 \ne 0 \end{array} \right.\) ( luôn đúng với mọi \(m \in R\)).

Suy ra \(\forall m \in R\) thì d luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt.

Khi đó \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của (2)

Ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{{{m^2} + 5}}{{{m^2} + 1}};\,\,\,{x_1}.{x_2} = \frac{1}{{{m^2} + 1}}\), khi đó:

\(P = 12\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 11{x_1}.{x_2} = 12\left( {\frac{{{m^2} + 5}}{{{m^2} + 1}}} \right) + 11\left( {\frac{1}{{{m^2} + 1}}} \right) = 12 + \frac{{59}}{{{m^2} + 1}} \le 71\).

Do đó P đạt giá trị lớn nhất là 71 khi m = 0.

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 2 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Bài 1 (6,0 điểm).

a) Cho x và y là các số thực thỏa mãn \(2x \ge y > 0.\) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{{x^2} - xy + {y^2}}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}.\)

b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 3mx + m\) có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành.

Bài 2 (5,0 điểm).

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n) biết u₁ = 2 và \({u_{n + 1}} = 2{u_n} + 5,\forall n \in {N^*}.\)

b) Cho dãy số (v_n) thỏa mãn \({v_1} = \frac{1}{{2018}},{v_{n + 1}} = \frac{{2{v_n}}}{{1 + 2018v_n^2}},\forall n \in {N^*}.\) Chứng minh rằng \({v_{n + 1}} \ge {v_n},\,\,\forall n \in {N^*}.\)

Bài 3 (4,0 điểm). Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} 2\sqrt {xy} \left( {x + y - 1} \right) = {x^2} + {y^2}\\ {x^2}y\sqrt {{y^2} + 1} - \sqrt {{x^2} + 1} = {x^2}y - x \end{array} \right..\)

Bài 4 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC và hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Các đường tròn (O₁), (O₂) cùng đi qua A và theo thứ tự tiếp xúc với BC tại B, C. Gọi D là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2).

a) Chứng minh đường thẳng AD đi qua trung điểm của cạnh BC. 

b) Chứng minh ba đường thẳng EF, BC, HD đồng quy.

ĐÁP ÁN

Bài	Nội dung	Điểm
1		6,0
a	Ta có \(P = \frac{{{t^2} - t + 1}}{{{t^2} + t + 1}},\) với \(t = \frac{x}{y} \ge \frac{1}{2}.\) Xét hàm số \(f(t) = \frac{{{t^2} - t + 1}}{{{t^2} + t + 1}}\) với \(t \ge \frac{1}{2}.\) Tính được \(f'(t) = \frac{{2{t^2} - 2}}{{{{({t^2} + t + 1)}^2}}},\left\{ \begin{array}{l} f'(t) = 0\\ t \ge \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow t = 1.\) Bảng biến thiên Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng \(\frac{1}{3}\), không có giá trị lớn nhất.	0,5 0,5 1,0 0,5 0,5
b
	Tập xác định D =R \(y' = 3{x^2} - 6x - 3m\) Yêu cầu bài toán ⇔ Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(y\left( {{x_1}} \right).y\left( {{x_2}} \right) < 0.\)  Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow 1 + m > 0\) (*) Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right).\) Ta có \(y = \left( {\frac{x}{3} - \frac{1}{3}} \right).y' - 2\left( {m + 1} \right)x\) Do đó \({y_1} = y\left( {{x_1}} \right) = - 2\left( {m + 1} \right){x_1}\) \({y_2} = y\left( {{x_2}} \right) = - 2\left( {m + 1} \right){x_2}\) \(y\left( {{x_1}} \right).y\left( {{x_2}} \right) < 0 \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2}{x_1}.{x_2} < 0\) \( \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} < 0 \Leftrightarrow - m < 0 \Leftrightarrow m > 0\) Kết hợp với điều kiện (*) ta có m > 0 thỏa mãn bài toán	0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25   0,5   0,5 0,25

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 3 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Bài 1. (5 điểm)

Giải phương trình nghiệm nguyên: \({x^3} + {y^3} + {x^2}y + x{y^2} = 4\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) + 1.\)

Bài 2. (5 điểm)

Cho \(x,y \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\sin }^2}y + 1}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}y + 1}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x + 1}} \le \frac{9}{{2\left( {{{\sin }^2}x\sin 2y + \sin 2x\sin y + \sin 2x\cos y} \right)}}.\)

Bài 3. (5 điểm)

Cho tam giác ABC có AB < AC và nội tiếp đường tròn (O). Phân giác trong góc \(\widehat {BAC}\) cắt (O) tại điểm D khác A, lấy E đối xứng B qua AD, đường thẳng BE cắt (O) tại F khác B. Lấy điểm G di chuyển trên cạnh AC (G khác A, C), đường thẳng BG cắt (O) tại H khác B. Đường thẳng qua C song song AH cắt FD tại I. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCG cắt EI tại hai điểm phân biệt K, L. Chứng minh rằng đường trung trực đoạn thẳng KL luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 4. (5 điểm)

Cho 2018 tập hợp mà mỗi tập chứa đúng 45 phần tử. Biết rằng hai tập tùy ý trong các tập này đều có đúng một phần tử chung. Chứng minh rằng tồn tại phần tử thuộc tất cả 2018 tập hợp đã cho.

ĐÁP ÁN

LỜI GIẢI TÓM TẮT	ĐIỂM
Bài 1. (5 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: \({x^3} + {y^3} + {x^2}y + x{y^2} = 4\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) + 1.\)
Nhận xét: x khác y	0,5
\(\Rightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) > \left| {4xy + 1} \right|\)	0,5
\({x^3} + {y^3} + {x^2}y + x{y^2} = 4\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) + 1 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y - 4} \right) = 4xy + 1\)	0,5
\( \Rightarrow 2\left| {4xy + 1} \right| = \left| {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y - 4} \right)} \right| > \left| {4xy + 1} \right|\left| {x + y - 4} \right|\)	1,5
\( \Rightarrow 2 > \left| {x + y - 4} \right| \Rightarrow x + y = 3;4;5\)	0,5
x + y = 3 không thỏa	0,5
x + y = 4 không thỏa	0,5
x + y = 5 tìm được x = 1; y = 4 hoặc x = 4; y = 1	0,5

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 4 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Bài 1 (4 điểm).

1. Cho hàm số \(y = {x^4} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} + {m^2} + m - 1\), với m là tham số. Tìm các giá trị của  để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều.

2. Một hộ gia đình cần xây dựng một bể chứa nước, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích \(24\left( {{m^3}} \right)\). Tỉ số giữa chiều cao của bể và chiều rộng bằng 4. Biết rằng bể chỉ có các mặt bên và mặt đáy (không có mặt trên). Chiều dài của đáy bể bằng bao nhiêu để xây bể tốn ít nguyên vật liệu nhất.

Bài 2 (4 điểm).

1. Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, AB = c thỏa mãn \(\sqrt {2a - c} .\cos \frac{B}{2} = \sqrt {2a + c} .\sin \frac{B}{2},\) với 2a > c. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.

2. Có hai chuồng nhốt thỏ, chuồng thứ nhất nhốt 19 con thỏ lông màu đen và 1 con thỏ lông màu trắng. Chuồng thứ hai nhốt 13 con thỏ lông màu đen và 2 con thỏ lông màu trắng. Bắt ngẫu nhiên mỗi chuồng đúng 1 con thỏ. Tính xác suất để bắt được hai con thỏ có màu lông khác nhau.

Bài 3 (3 điểm). Cho x, y là các số thực dương. Giải hệ phương trình sau

\(\left\{ \begin{array}{l} \left( {y + 1} \right){\log _4}\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)} \right] = 16 - \left( {x - 1} \right)\left( {y + 1} \right)\\ 4{x^2} + 7xy - 3x + {y^2} = 99 \end{array} \right.\).

Bài 4 (3 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2AD. Điểm N thuộc cạnh AB sao cho \(AN = \frac{1}{4}AB\), M là trung điểm của DC. Gọi I là giao điểm của MN và BD. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN. Biết điểm A(2;1), đường thẳng BD có phương trình 11x - 2y + 5 = 0, điểm B có hoành độ là số nguyên.

Bài 5 (4 điểm). Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Mặt bên BCC'B' là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (ABB'A') bằng \(\alpha\) với \(\tan \alpha = \frac{{5\sqrt 2 }}{4},\;\) hãy tính theo a.

a) Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C' và B'C

Bài 6 (2 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{16\sqrt {xy} + 2\sqrt {10yz} + 2\sqrt {10xz} }} - \frac{{10}}{{45 + x + y + z}}\)

ĐÁP ÁN

Câu 1

1. Hàm số y xác định với mọi \(x \in R\) và \(y' = 4{x^3} + 4\left( {m + 1} \right)x = 4x\left( {{x^2} + m + 1} \right)\).

Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = - \left( {m + 1} \right) \end{array} \right.\)

Hàm số có 3 điểm cực trị \(\Leftrightarrow - \left( {m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow m < - 1\) (*).

Với điều kiện (*) thì đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là

\(A\left( {0;{m^2} + m - 1} \right),B\left( {\sqrt { - m - 1} ; - m - 2} \right),C\left( { - \sqrt { - m - 1} ; - m - 2} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} AB = \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^4} - \left( {m + 1} \right)} = AC\\ BC = 2\sqrt { - m - 1} \end{array} \right.\) ⇒ Tam giác ABC cân tại đỉnh A với \(\forall m < - 1\).

Do đó để tam giác ABC đều thì AB = BC \( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^4} + 3\left( {m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow m = - 1 - \sqrt[3]{3}\)

Vậy với \(m = - 1 - \sqrt[3]{3}\) thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều.

2. Gọi chiều cao, chiều rộng, chiều dài của bể lần lượt là h, x, y (m) (Điều kiện: h,x,y > 0)

Theo đề bài ta có \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{h}{x} = 4\\ xyh = 24 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} h = 4x\\ y = \frac{6}{{{x^2}}} \end{array} \right.\)

Tổng diện tích xung quanh và diện tích một mặt đáy của bể là \(S = xy + 2xh + 2yh = 8{x^2} + \frac{{54}}{x}\)

Ta đi tìm x để S đạt giá trị nhỏ nhất.

Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức AM-GM :

Ta có \(S = 8{x^2} + \frac{{27}}{x} + \frac{{27}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{8{x^2}.\frac{{27}}{x}.\frac{{27}}{x}}} = 54\). Dấu ‘=’ xảy ra khi \(x = \frac{3}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 54 khi \(x = \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{8}{3}\).

Cách 2 : Xét hàm số \(S = 8{x^2} + \frac{{54}}{x}\), x > 0.

Có \(S' = 16x - \frac{{54}}{{{x^2}}}\); \(S' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\).

Ta có bảng biến thiên :

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{8}{3}\).

Vậy khi chiều dài của bể bằng 8/3 m thì ta xây bể tốn ít nguyên vật liệu nhất.

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 5 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích dẫn nội dung Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán 12 năm 2021 có đáp án Trường THPT Hà Huy Tập. Để xem toàn bộ nội dung các em đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:

• Bộ 5 đề thi thử chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu

Chúc các em học tốt!