Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Đồng Đậu

TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU

ĐỀ THI HSG LỚP 12 MÔN TOÁN Thời gian: 180 phút

 

Câu 1. (3,0 điểm) Giải phương trình: \({x^3} - 2x - 3 = \sqrt[3]{{3\left( {x + 1} \right)}}\).

Câu 2. (2,0 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n thì phương trình \({x^n} + {x^{n - 1}} + ... + x = 2\) luôn có một nghiệm dương duy nhất. Ký hiệu nghiệm dương đó là x_n, chứng minh rằng dãy số (x_n) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn tâm O. Điểm M di động trên cạnh BC (\(M \ne B,M \ne C\)). Gọi (X), (Y) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác MAB và MAC. Lấy điểm S thuộc (X) sao cho MS song song với AB; lấy điểm T thuộc (Y) sao cho MT song song với AC.

a) Chứng minh rằng các điểm A, O, T, S nằm trên một đường tròn.

b) Gọi E là giao điểm khác A của (X) và AC, F là giao điểm khác A của (Y) và AB. Các đường thẳng BE và CF cắt nhau tại N. Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua O khi và chỉ khi AM đi qua tâm đường tròn Ơ-le của tam giác ABC.

Câu 4. (2,0 điểm) Cho p là một số nguyên tố, p > 2 và các số nguyên \({a_1};\,{a_2};\,...;{a_p}\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có công sai không chia hết cho p. Chứng minh rằng tồn tại một chỉ số k thuộc tập \(\left\{ {1;\,2;...;\,p} \right\}\) sao cho \({a_1}{a_2}...{a_p} + {a_k}\) chia hết cho p².

Câu 5. (3,0 điểm) Tìm tất cả các đa thức P(x) hệ số thực thỏa mãn điều kiện:

\({\left[ {P\left( x \right)} \right]^3} - 3{\left[ {P\left( x \right)} \right]^2} = P\left( {{x^3}} \right) - 3P\left( { - x} \right)\) với mọi \(x \in R\).

Câu 6. (2,0 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên n với \(n \ge 2\) sao cho trên mặt phẳng tồn tại n điểm phân biệt, mỗi điểm được gán một số thực dương mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong chúng bằng tổng hai số được gán ở hai điểm đó.

Câu 7. (3,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3. Chứng minh rằng \({x^3} + {y^3} + {z^3} + 7xyz \ge 10\)

ĐÁP ÁN

Câu	Nội dung yêu cầu	Điểm
Câu 1 (3,0đ)
	Phương trình ⇔ \({x^3} + x = 3x + 3 + \sqrt[3]{{3x + 3}}\) (1)	0,5
	Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + t\).                                                                                       (0.25)	0,75
	Chứng minh được f(t) là hàm số đồng biến trên R.                                            (0.5)
	Phương trình (1) trở thành: \(f\left( x \right) = f\left( {\sqrt[3]{{3x + 3}}} \right) \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{3x + 3}} \Leftrightarrow {x^3} = 3x + 3 \Leftrightarrow {x^3} - 3x = 3.\) (2)	0,5
	Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} - 3x - 3\) trên R. Ta có \(g'\left( x \right) = 3{x^2} - 3,g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.\) Bảng biến thiên của  trên R:	0,25
	Từ bảng biến thiên và g(2) = -1 ta thấy phương trình g(x) = 0 chỉ có một nghiệm duy nhất trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).                                                                                             (0.25)	0,5
	Với \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\), đặt \(x = t + \frac{1}{t}\) trong đó t > 0.                                                        (0.25)
	Thay vào phương trình (2) được \({t^3} + \frac{1}{{{t^3}}} - 3 = 0 \Leftrightarrow {t^3} = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow t = \sqrt[3]{{\frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}}}\).        (0.25)	0,5
	Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất \(x = \sqrt[3]{{\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}}} + \sqrt[3]{{\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}}}\).                       (0.25)

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 1 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3(2m + 3)x + 1.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số m nghịch biến trong khoảng \(\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right).\)

Câu 2. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình: \(19 + 3x + 2\sqrt { - 4{x^2} - 4x + 24} = 6\sqrt {2 - x} + 12\sqrt {3 + x} \;.\)

2. Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 3{x^2} - 6x - 3y + 4\\ {x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 8 + \sqrt {5x + 6} + \sqrt {4x - 3y + 14} = 0 \end{array} \right.\)

Câu 3. (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P = \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2} + 5bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c + a} \right)}^2} + 5ca}} - \frac{3}{4}{\left( {a + b} \right)^2}.\)

Câu 4. (2,0 điểm) Bạn An vẽ lên giấy một đa giác lồi (H) có số cạnh nhiều hơn 4. Sau đó bạn An đếm các tam giác nhận đỉnh của đa giác làm đỉnh và nhận xét: số tam giác không có cạnh chung với (H) nhiều gấp 5 lần số tam giác có đúng một cạnh chung với (H). Hỏi bạn An vẽ đa giác lồi có bao nhiêu cạnh?

Câu 5. (6,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho tam giác \(ABC\;\left( {AC > AB} \right).\) Gọi \(D\left( {2; - \frac{3}{2}} \right)\) là chân đường phân giác trong góc A, E(-1;0) là một điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn AB = AE. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \({x^2} + {y^2} + x - 2y - 30 = 0\) và A có hoành độ dương.

2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại \(A,\;\widehat {ABC} = {60^0},\;BC = 2a.\) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA tạo với mặt phẳng (SBC) một góc 30^o. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Câu 6. (3,0 điểm) Cho dãy số (x_n) biết

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = a\\ {x_{n + 1}} = \frac{3}{4}x_n^2 - \frac{1}{8}x_n^3\quad (\forall n \in N,n \ge 1) \end{array} \right.\)

1. Với a = 3, chứng minh rằng dãy (x_n) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

2. Chứng minh rằng với mọi \(a \in {\rm{[ - 2}};6]\), dãy (x_n) có giới hạn hữu hạn.

ĐÁP ÁN

Câu	Ý	Nội dung	Điểm
1 (3,0đ)		Ta có \(y' = 3{x^2} - 6mx + 3(2m + 3)\) Hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow y' \le 0,\;\forall x \in \left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) \( \Leftrightarrow 2m(x - 1) \ge {x^2} + 3 \Leftrightarrow m \le \frac{{{x^2} + 3}}{{2x - 2}},\;\forall x \in \left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right).\) Xét hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2} + 3}}{{2x - 2}}\) trên khoảng \(\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) Ta có \(f'(x) = \frac{{(x + 1)(2x - 6)}}{{{{\left( {2x - 2} \right)}^2}}} < 0,\;\forall x \in \left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) Từ bảng biến thiên suy ra \(m \le - \frac{{13}}{4}.\)	0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 2 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1 (2,0 điểm).

a. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{\sin x + \cos x + 1}}{{\sqrt {2 + \sin 2x} }}\).

b. Cho hàm số \(y = \frac{x}{{1 - x}}\) có đồ thị (C) và điểm A(-1;1). Tìm các giá trị của m để đường thẳng \(\left( d \right):y = mx - m - 1\) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho \(A{M^2} + A{N^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 2 (2,0 điểm).

a. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{1 + {{2019}^x}}}\). Tính tỉ số \(\frac{P}{Q}\), với \(P = f'\left( 1 \right) + 2f'\left( 2 \right) + ... + 2019f'\left( {2019} \right)\) và \(Q = f'\left( { - 1} \right) + 2f'\left( { - 2} \right) + ... + 2019f'\left( { - 2019} \right)\).

b. Giải phương trình: \({\log _2}\left[ {3{{\log }_2}\left( {3x - 1} \right) - 1} \right] = x\).

Câu 3 (2,0 điểm).

a. Cho tam giác đều ABC cạnh 8cm. Chia tam giác này thành 64 tam giác đều cạnh 1cm bởi các đường thẳng song song với các cạnh tam giác ABC (như hình vẽ). Gọi S là tập hợp các đỉnh của các tam giác cạnh 1cm. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh thuộc S. Tính xác suất sao cho 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của hình bình hành nằm trong miền trong của tam giác ABC và có cạnh chứa các cạnh của các tam giác cạnh 1 cm ở trên.

 b. Tìm công sai d của cấp số cộng (u_n) có tất cả các số hạng đều dương và thỏa mãn:

\(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} + {u_2} + ... + {u_{2020}} = 4\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{1010}}} \right)\\ \log _3^2{u_2} + \log _3^2{u_5} + \log _3^2{u_{14}} = 2 \end{array} \right.\).

Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA\( \bot \)(ABCD), SA = a. Một mặt phẳng \((\alpha)\) qua CD cắt SA, SB lần lượt tại M, N. Đặt AM = x, với 0 < x < a.

a. Tứ giác MNCD là hình gì? Tính diện tích tứ giác MNCD theo a và x.

b. Xác định x để thể tích khối chóp S.MNCD bằng \(\frac{2}{9}\) lần thể tích khối chóp S.ABCD.

Câu 5 (1,0 điểm).

a. Cho các số thực phân biệt a, b > 1. Chứng minh rằng: \({\log _a}\left( {{{\log }_a}b} \right) > {\log _b}\left( {{{\log }_a}b} \right)\).

b. Cho các số thực \({a_1} > {a_2} > ... > {a_n} > 1,\left( {n \ge 2} \right)\). Chứng minh rằng: \({\log _{{a_1}}}\left( {{{\log }_{{a_1}}}{a_2}} \right) + {\log _{{a_2}}}\left( {{{\log }_{{a_2}}}{a_3}} \right) + ... + {\log _{{a_{n - 1}}}}\left( {{{\log }_{{a_{n - 1}}}}{a_n}} \right) + {\log _{{a_n}}}\left( {{{\log }_{{a_n}}}{a_1}} \right) > 0\).

ĐÁP ÁN

Câu 1a (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{\sin x + \cos x + 1}}{{\sqrt {2 + \sin 2x} }}\).

Hướng dẫn

Đặt \(\sin x + \cos x = t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right] \Rightarrow \sin 2x = {t^2} - 1\), khi đó \(y = \frac{{t + 1}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} = f\left( t \right),t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\).

Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{{1 - t}}{{\left( {{t^2} + 1} \right)\sqrt {{t^2} + 1} }} \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Rightarrow t = 1\).

Tính \(f\left( { - \sqrt 2 } \right) = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }};f\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }},f\left( 1 \right) = \sqrt 2 \).

Suy ra: \(\min y = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \); \(\max y = \sqrt 2 \Leftrightarrow x = k2\pi ,x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).

Câu 1b (1,0 điểm). Cho hàm số \(y = \frac{x}{{1 - x}}\) có đồ thị (C) và điểm A(-1;1). Tìm các giá trị của m để đường thẳng \(\left( d \right):y = mx - m - 1\) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho \(A{M^2} + A{N^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn

Cách 1:

Dễ thấy đường thẳng \(\left( d \right):y = mx - m - 1\) luôn đi qua điểm I(1;-1) là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Ta có \(y' = \frac{1}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 1\) nên để đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N thì m < 0.

Khi đó I(1;-1) luôn là trung điểm của đoạn MN.

Ta có \(A{M^2} + A{N^2} = {\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} } \right)^2} - 2\overrightarrow {AM} \overrightarrow {AN} = 4{\overrightarrow {AI} ^2} - 2\overrightarrow {AM} \overrightarrow {AN} = 32 - 2\overrightarrow {AM} \overrightarrow {AN} \) (*).

Do A cố định nên: nếu ta xét được \(\overrightarrow {AM} \overrightarrow {AN} \) là số dương và trong tam giác AMN có cạnh MN nhỏ nhất thì tìm được giá trị nhỏ nhất. Mà (C) là Hypebol nên khi (d) là đường phân giác của góc tạo bởi hai tiệm cận thì m = -1 và (d): y = -x cắt (C) tại hai điểm phân biệt \(M\left( {0;0} \right),N\left( {2; - 2} \right)\) và MN nhỏ nhất, ta có: \(\overrightarrow {AM} \overrightarrow {AN} = 1.3 + \left( { - 1} \right)\left( { - 3} \right) = 6 > 0\), hơn nữa \(A{M^2} + A{N^2} = 32 - 12 = 20\). Vậy \(\min \left( {A{M^2} + A{N^2}} \right) = 20 \Leftrightarrow m = - 1\).

Cách 2:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) cắt và (C): \(mx - m - 1 = \frac{x}{{1 - x}},x \ne 1\)

\( \Leftrightarrow m{x^2} - 2mx + m + 1 = 0\) (vì x = 1 không là nghiệm).

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ {m^2} - m\left( {m + 1} \right) > 0 \end{array} \right. \Rightarrow m < 0\).

Theo định lý Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2\\ {x_1}{x_2} = \frac{{m + 1}}{m} \end{array} \right.\).

Mặt khác \(A{M^2} + A{N^2} = {\left( {{x_1} + 1} \right)^2} + {\left( {{x_2} + 1} \right)^2} + {\left( {m\left( {{x_1} - 1} \right) - 2} \right)^2} + {\left( {m\left( {{x_2} - 1} \right) - 2} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} A{M^2} + A{N^2} = 10 - \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{m} + {m^2}\left[ {{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}} \right] - 4\left( {m\left( {{x_1} - 1} \right) + m\left( {{x_2} - 1} \right)} \right) + 8\\ A{M^2} + A{N^2} = 18 - \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{m} + {m^2}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2} \right]\\ A{M^2} + A{N^2} = 18 - \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{m} + {m^2}\left[ {2 - \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{m}} \right] = 16 + 2\left( { - m - \frac{1}{m}} \right) \ge 16 + 4\sqrt {\left( { - m} \right).\frac{1}{{\left( { - m} \right)}}} \\ \Rightarrow \min \left( {A{M^2} + A{N^2}} \right) = 20 \Leftrightarrow - m = 1 \Leftrightarrow m = - 1 \end{array}\)

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 3 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}m{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3\left( {m - 2} \right)x + 2019\) đồng biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\).

b) Cho hàm số \(y = \frac{{mx - m + 2}}{{x + 1}}\) có đồ thị là (C). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d:y = 2x - 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA, OB bằng 45^o.

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình lượng giác sau \(\frac{{\cos x\left( {2\sin x + 1} \right)}}{{\left( {\sin x + 1} \right)\left( {2\sin x - 1} \right)}} = \sqrt 3 \).

b) Giải hệ phương trình sau \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4y + 3\sqrt {{x^2}y + 3y} + 3 = 0\\ \sqrt {{x^2} + 3x - y + 5} + \sqrt[3]{{3x - 2}} = 2 \end{array} \right.{\rm{ }}\left( {x,y \in R} \right)\).

Câu 3 (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = a, AC = 2a, \(AA' = \frac{{3a\sqrt 6 }}{2}\) và góc \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Gọi M là điểm trên cạnh CC' sao cho \(\overrightarrow {CM} = 2\overrightarrow {MC'} \).

a) Chứng minh rằng \(AM \bot B'M\).

b) Tính khoảng cách từ đỉnh A' đến mặt phẳng (AB'M).

Câu 4 (1,0 điểm) Cho dãy số (u_n) có số hạng tổng quát \({u_n} = 1 - \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}},{\rm{ }}\left( {n \in {N^*}} \right)\).

Tính \(\lim \left( {{u_1}{u_2}{u_3} \ldots {u_n}} \right)\). 

Câu 5 (1,0 điểm) Cho đa giác lồi (H) có n đỉnh (\(n \in N,n > 4\)). Biết số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của (H) và không có cạnh nào là cạnh của (H) gấp 5 lần số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của (H) và có đúng một cạnh là cạnh của (H). Xác định n.

Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình đường chéo AC là x - y + 1 = 0, điểm G(1;4) là trọng tâm tam giác ABC, điểm E(0;-3) thuộc đường cao kẻ từ D của tam giác ACD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành đã cho, biết rằng diện tích tứ giác AGCD bằng 32 và đỉnh A có tung độ dương.

Câu 7 (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh bất đẳng thức: \(\frac{1}{{{a^2} + b + c}} + \frac{1}{{{b^2} + c + a}} + \frac{1}{{{c^2} + a + b}} \le 1\)

ĐÁP ÁN

Câu	Đáp án	Điểm
1	a)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}m{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3\left( {m - 2} \right)x + 2019\) đồng biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\).	1
	Ycbt \( \Leftrightarrow y' = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) \ge 0,\forall x \in \left[ {2; + \infty } \right)\)	0,25
	\(\Leftrightarrow m \ge \frac{{ - 2x + 6}}{{{x^2} - 2x + 3}} = f\left( x \right),\forall x \in \left[ {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} f\left( x \right)\)	0,25
	Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{2\left( {{x^2} - 6x + 3} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}^2}}};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3 + \sqrt 6 \left( {tm} \right)\\ x = 3 - \sqrt 6 \left( {ktm} \right) \end{array} \right.\)	0,25
	KL	0,25
	b) Cho hàm số \(y = \frac{{mx - m + 2}}{{x + 1}}\) có đồ thị là (C). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d:y = 2x - 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA, OB bằng 45o.	1
	Phương trình hoành độ: \(\frac{{mx - m + 2}}{{x + 1}} = 2x - 1 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2x + 3 - m} \right) = 0,\left( {x \ne - 1} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = \frac{{m - 3}}{2} \end{array} \right.\)	0,25
	Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi \(m \ne 1 \wedge m \ne 5\). Khi đó, \(A\left( {1;1} \right),B\left( {\frac{{m - 3}}{2};m - 4} \right)\).	0,25
	Điều kiện để OA, OB tạo với nhau một góc 45o là:   \(\left| {\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} } \right| = OA.OB.cos45^\circ \Leftrightarrow \left| {\frac{{m - 3}}{2} + m - 4} \right| = \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\sqrt {{{\left( {\frac{{m - 3}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {m - 4} \right)}^2}} \)	0,25
	\( \Leftrightarrow {m^2} - 7m + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3\\ m = 4 \end{array} \right.\left( {tm} \right)\)	0,25

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 4 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1. ( 5,0 điểm)

1. Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số \(y = \cos x - \sin x.\)

2. Tìm m để phương trình \(\left| {2{x^4} - 4{x^2} + 1} \right| - 2m = 0\) có đúng 5 nghiệm phân biệt.

Câu 2. ( 5,0 điểm)

1. Chứng minh rằng \(C_{2020}^1 + 2C_{2020}^2 + ... + 1010C_{2020}^{1010} = {1010.2^{2019}}.\)

2. Tìm tất cả các cặp số thực (x;y) thỏa mãn \(\left| {xy} \right| \le 4\) và \({\left( {x - y} \right)^2} + 20 = \left( {x + y} \right)\left( {xy - 8} \right).\)

Câu 3. ( 6,0 điểm)

1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.

2. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi M, D, E lần lượt là trung điểm của \(BC,\;IB,\;IC;F,G\) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ACE. Chứng minh rằng AM vuông góc FG.

Câu 4. (2,0 điểm)

Cho dãy số (x_n) được xác định bởi \({x_1} = \sqrt 2 \) và \({x_{n + 1}} = \sqrt {2 - {x_n}} ,\;\forall n \ge 1.\) Chứng minh dãy số (x_n) có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 5. (2,0 điểm)

Xét các số thực dương a, b, c có tổng bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{2b + c}}{a} + \frac{{2c + a}}{b} + \frac{{2a + b}}{c} + \frac{{18abc}}{{ab + bc + ca}}.\)

ĐÁP ÁN

Câu 1.1. Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số \(y = \cos x - \sin x.\)

\(\begin{array}{l} y' = - \sin x - \cos x;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\\ y'' = \sin x - \cos x;y''\left( { - \frac{\pi }{4} + k2\pi } \right) = - \sqrt 2 < 0;y''\left( {\frac{{3\pi }}{4} + k2\pi } \right) = \sqrt 2 > 0 \end{array}\)

Vậy các điểm cực đại của hàm số là: \(x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \); Các điểm cực tiểu của hàm số là: \(x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \)

Câu 1. 2. Tìm m để phương trình \(\left| {2{x^4} - 4{x^2} + 1} \right| - 2m = 0\) có đúng 5 nghiệm phân biệt.

\(\left| {2{x^4} - 4{x^2} + 1} \right| - 2m = 0 \Leftrightarrow \left| {2{x^4} - 4{x^2} + 1} \right| = 2m\).

Cách 1: Xét hàm số \(f(x) = 2{x^4} - 4{x^2} + 1\) có BBT của hàm số f(x) và |f(x)|

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm cửa đồ thị hàm số |f(x)| và đường thẳng y = m. Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm phân biệt khi 2m = 1 hay \(m = \frac{1}{2}.\)

Cách 2: (HS 10,11). \(\left| {2{x^4} - 4{x^2} + 1} \right| = 2m\quad (1)\). Đặt \(t = {x^2},\left( {t \ge 0} \right)\)

PTTT: \(\left| {2{t^2} - 4t + 1} \right| = 2m\) (2).

Xét hàm số \(f(t) = 2{t^2} - 4t + 1\) trên \([0; + \infty )\). |f(x)| có đồ thị

Biện luận các trường hợp số nghiệm của (2) và (1). Từ đó kết luận m = 1/2.

Cách 3: Nhận thấy nếu x₀ là nghiệm của (1) thì -x0 cũng là nghiệm của pt (1). Do đó nếu các nghiệm \({x_i} \ne 0\) thì số nghiệm của phương trình (1) là số chẵn. Vậy đk cần để pt có 5 nghiệm là pt (1) có nghiệm \({x_0} = 0\), thế vào tìm được \(m = \frac{1}{2}.\) Giải phương trình khi \(m = \frac{1}{2}\) và kết luận.

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 5 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích dẫn nội dung Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán 12 năm 2021 có đáp án Trường THPT Đồng Đậu. Để xem toàn bộ nội dung các em đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:

Bộ 5 đề thi thử chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu

• Bộ 5 đề thi thử chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Hà Huy Tập

Chúc các em học tốt!