50 bài tập trắc nghiệm về Ứng dụng thực tế của hình học Toán 12 có đáp án chi tiết

50 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA HÌNH HỌC TOÁN 12 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Người ta bỏ 5 quả bóng bàn cùng kích thước vào một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng 5 lần đường kính của quả bóng bàn. Gọi S₁ là tổng diện tích của  quả bóng bàn, S₂ là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) là:

A. 2.

B. \(\frac{6}{5}\).

C. 1.

D. \(\frac{3}{2}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Gọi bán kính của quả bóng bàn là R (R > 0)

Ta có chiều cao h của hình trụ bằng 5 lần đường kính của quả bóng bàn nghĩa là: \(h = 5.2R = 10R\)

Khi đó: \({S_1} = 5.4\pi .{R^2} = 20\pi {R^2}\)

Và \({S_2} = 2\pi R.h = 2\pi R.10R = 20\pi {R^2}\)

Vậy: \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 1\).

Câu 2: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích \(27c{m^3}\) với chiều cao là h và bán kính đáy là r để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của r là:

A. \(r = \sqrt[4]{{\frac{{{3^6}}}{{2{\pi ^2}}}}}\).

B. \(r = \sqrt[6]{{\frac{{{3^8}}}{{2{\pi ^2}}}}}\).

C. \(r = \sqrt[4]{{\frac{{{3^8}}}{{2{\pi ^2}}}}}\).

D. \(r = \sqrt[6]{{\frac{{{3^6}}}{{2{\pi ^2}}}}}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Thể tích của cốc: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = 27 \Rightarrow {r^2}h = \frac{{81}}{\pi } \Rightarrow h = \frac{{81}}{\pi }.\frac{1}{{{r^2}}}\)

Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi và chỉ khi diện tích xung quanh nhỏ nhất.

\({S_{xq}} = 2\pi rl = 2\pi r\sqrt {{r^2} + {h^2}} = 2\pi r\sqrt {{r^2} + \frac{{{{81}^2}}}{{{\pi ^2}}}\frac{1}{{{r^4}}}} = 2\pi \sqrt {{r^4} + \frac{{{{81}^2}}}{{{\pi ^2}}}\frac{1}{{{r^2}}}} \)

\(= 2\pi \sqrt {{r^4} + \frac{{{{81}^2}}}{{2{\pi ^2}}}\frac{1}{{{r^2}}} + \frac{{{{81}^2}}}{{2{\pi ^2}}}\frac{1}{{{r^2}}}} \ge 2\pi \sqrt {3\sqrt[3]{{{r^4}.\frac{{{{81}^2}}}{{2{\pi ^2}}}\frac{1}{{{r^2}}}.\frac{{{{81}^2}}}{{2{\pi ^2}}}\frac{1}{{{r^2}}}}}} \)

\(= 2\sqrt 3 \pi \sqrt[6]{{\frac{{{{81}^4}}}{{4{\pi ^4}}}}}\) (theo BĐT Cauchy)

S_xq nhỏ nhất \( \Leftrightarrow {r^4} = \frac{{{{81}^2}}}{{2{\pi ^2}}}\frac{1}{{{r^2}}} \Leftrightarrow {r^6} = \frac{{{3^8}}}{{2{\pi ^2}}} \Leftrightarrow r = \sqrt[6]{{\frac{{{3^8}}}{{2{\pi ^2}}}}}\)

Câu 3: Một phễu đựng kem hình nón bằng giấy bạc có thể tích \(12\pi \)(cm³) và chiều cao là 4cm. Muốn tăng thể tích kem trong phễu hình nón lên 4 lần, nhưng chiều cao không thay đổi, diện tích miếng giấy bạc cần thêm là.

A. \((12\sqrt {13} - 15)\pi \left( {c{m^2}} \right)\).

B. \(12\pi \sqrt {13} \left( {c{m^2}} \right)\).

C. \(\frac{{12\sqrt {13} }}{{15}}\left( {c{m^2}} \right)\).

D. \((12\sqrt {13} + 15)\pi \left( {c{m^2}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Gọi R₁ là bán kính đường tròn đáy hình nón lúc đầu; h₁ là chiều cao của hình nón lúc đầu.

Gọi R₂ là bán kính đường tròn đáy hình nón sau khi tăng thể tích; h₂ là chiều cao của hình nón sau khi tăng thể tích.

Ta có: \({V_1} = \frac{1}{3}\pi R_1^2{h_1} \Rightarrow 12\pi = \frac{1}{3}\pi R_1^24 \Rightarrow {R_1} = 3\)

\(\left. \begin{array}{l} {V_1} = \frac{1}{3}\pi R_1^2{h_1}\\ {V_2} = \frac{1}{3}\pi R_2^2{h_2}\\ {h_2} = {h_1} \end{array} \right\} \Rightarrow \frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{{R_2^2}}{{R_1^2}} = 4 \Rightarrow {R_2} = 2{R_1} = 6\)

Diện tích xung quanh hình nón lúc đầu: \({S_{xp1}} = \pi {R_1}{l_1} = \pi 3\sqrt {16 + 9} = 15\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích xung quanh hình nón sau khi tăng thể tích: \({S_{xp2}} = \pi {R_2}{l_2} = \pi 6\sqrt {16 + 36} = 12\pi \sqrt {13} \left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích phần giấy bạc cần tăng thêm là: \(S = \left( {12\sqrt {13} - 15} \right)\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Chọn A.

Câu 4: Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là 20cm( Hình 1) Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu lả 10cm. Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược lên ( Hình 2) thì chiều cao cột nước trong phễu bằng giá trị nào sau đây

A. 10cm.

B. 0,87cm.

C. 1,07cm.

D. 1,35cm.

Hướng dẫn giải:

Gọi \(V,\,{V_1},\,{V_2}\) lần lượt là thể tích của phễu, của phần chứa nước, và phần không chứa nước

Ta có

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} V = \frac{1}{3}\pi .H{M^2}.AH\\ {V_1} = \frac{1}{3}\pi P{N^2}.AP \end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{V} = \frac{{P{N^2}.AP}}{{H{M^2}.AH}} = {\left( {\frac{{AP}}{{AH}}} \right)^3} = \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{{{V_2}}}{V} = \frac{7}{8} \end{array}\)

Khi lật ngược phễu. ta có:

\(\begin{array}{l} \frac{{{V_2}}}{V} = {\left( {\frac{{AK}}{{AH}}} \right)^3} \Leftrightarrow \frac{7}{8} = {\left( {\frac{{AK}}{{AH}}} \right)^3}\\ \Leftrightarrow AK = \sqrt[3]{{\frac{7}{8}}}.AH \Rightarrow HK = 0,87\,\left( {cm} \right) \end{array}\)

Câu 5: Cho một đồng hồ cát như hình vẽ ( gồm hai hình nón chung đỉnh ghép lại) trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc 60^o. Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng thể tích của đồng hồ là \(1000\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\). Nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới. khi đó tỷ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần phía dưới là bao nhiêu

A. \(\frac{1}{8}\).

B. \(\frac{1}{{27}}\).

C. \(\frac{1}{{3\sqrt 3 }}\).

D. \(\frac{1}{{64}}\).

Hướng dẫn giải:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} OE = x > 0\\ OH = y > 0\\ x < y \end{array} \right. \Rightarrow x + y = 60\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{3}\pi .E{L^2}.x + \frac{1}{3}\pi .H{M^2}.y = 1000\pi \\ \tan {60^0} = \frac{x}{{EL}} = \frac{y}{{HM}} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} E{L^2}.x + H{M^2}.y = 3000\\ EL = \frac{x}{{\sqrt 3 }};\,HM = \frac{y}{{\sqrt 3 }} \end{array} \right. \end{array}\)

\( \Rightarrow {x^3} + {y^3} = 9000\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 10\,\left( {cm} \right)\\ y = 20\,\left( {cm} \right) \end{array} \right.\)

Khi cát chảy hết xuống dưới \(\frac{{{V_{cat\,chiem\,cho}}}}{{{V_{duoi}}}} = {\left( {\frac{x}{y}} \right)^3} = \frac{1}{8}\)

{-- Để xem nội dung đầy đủ của tài liệu các em vui lòng xem ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây là trích dẫn một phần nội dung tài liệu 50 bài tập trắc nghiệm về Ứng dụng thực tế của hình học Toán 12 có đáp án chi tiết. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Chúc các em học tốt!