Bài tập 4.5 trang 64 SBT Toán 9 Tập 2

Hướng dẫn giải

Đặt \(\displaystyle x^2=t\ge 0\), đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai một ẩn rồi biện luận số nghiệm theo \(\displaystyle \Delta, \,S, \, P.\) 

Lời giải chi tiết

Cho phương trình: \(\displaystyle {x^4} - 13{x^2} + m = 0\)     (1)

Đặt \(\displaystyle {x^2} = t  \,(t \ge 0),\) ta có phương trình: \(\displaystyle {t^2} - 13t + m = 0\)  (2)

\(\displaystyle \Delta  = 169 - 4m\)

a) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm \(\displaystyle t_1,t_2\) dương phân biệt. Khi đó:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta = 169 - 4m > 0\\
{t_1} + {t_2} = 13 > 0\\
{t_1}.{t_2} = m > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < \dfrac{{169}}{4}\\
m > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \dfrac{{169}}{4}
\end{array}\)

b) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 1 nghiệm số dương và 1 nghiệm bằng \(\displaystyle 0\) khi:

\(\displaystyle \left\{ {\matrix{
{\Delta = 169 - 4m > 0} \cr 
{{t_1} + {t_2} = 13 > 0} \cr 
{{t_1}.{t_2} = m = 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\displaystyle m < { {169} \over 4}} \cr 
{m = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow m = 0} \right.\)

c) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có 1 nghiệm dương và một nghiệm âm (tức hai nghiệm trái dấu)

+) Phương trình (2) có một nghiệm số kép khi và chỉ khi \(\displaystyle \Delta  = 169 - 4m = 0\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow m = {{169} \over 4} \Rightarrow {t_1} = {t_2} = {{13} \over 2}>0\) (thỏa mãn)

+) Phương trình (2) có một nghiệm số dương và một nghiệm số âm khi

\(\displaystyle \left\{ {\matrix{
{\Delta = 169 - 4m > 0} \cr 
{{t_1}.{t_2} = m < 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\displaystyle m < {{169} \over 4}} \cr 
{m < 0} \cr} \Leftrightarrow m < 0} \right.} \right.\)

Vậy với \(\displaystyle m = {{169} \over 4}\) hoặc \(\displaystyle m < 0\) thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

d) Phương trình (1) có một nghiệm khi phương trình (2) có 1 nghiệm số kép bằng 0 hoặc phương trình (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm số âm.

Theo câu c) ta thấy phương trình (2) có nghiệm số kép \(\displaystyle {t_1} = {t_2} = {{13} \over 2} \ne 0\) (loại)

Nếu phương trình (2) có một nghiệm \(\displaystyle t_1 = 0\) thì theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\displaystyle {t_1} + {t_2} = 13 \)\(\displaystyle \Rightarrow {t_2} = 13 - {t_1} = 13 - 0 = 13 > 0\)

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) chỉ có 1 nghiệm.

e) Phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) có 2 nghiệm số âm hoặc vô nghiệm.

Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm thì theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\displaystyle {t_1} + {t_2} = 13 > 0\) vô lý

Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) vô nghiệm. 

Suy ra: \(\displaystyle \Delta  = 169 - 4m < 0 \Leftrightarrow m > {{169} \over 4}\)

-- Mod Toán 9 HỌC247