Giải bài 41 trang 81 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 - CD

Phương pháp giải

- Dựa tính chất tia phân giác của một góc và tổng ba góc trong một tam giác để chứng minh \(\widehat {BIC} = 120^\circ \)

- Xét các điều kiện về cạnh, về góc để chứng minh ∆BEI = ∆BFI (g – c – g)

- Từ các tam giác bằng nhau suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau dẫn tới chứng minh BC = BE + CD.

Lời giải chi tiết

a) Vì BD là phân giác của góc ABC nên \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2}\)

Vì CE là phân giác của góc ACB nên \(\widehat {ACE} = \widehat {ECB} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2}\)

Xét ∆ABC có: \(\hat A + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra\(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ  - \hat A = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ \)

Xét ∆IBC có: \(\widehat {BIC} + \widehat {IBC} + \widehat {ICB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Hay \(\widehat {BIC} + \frac{{\widehat {ABC}}}{2} + \frac{{\widehat {ACB}}}{2} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BIC} = 180^\circ  - \frac{{\widehat {ABC} + \widehat {ACB}}}{2} = 180^\circ  - \frac{{120^\circ }}{2} = 120^\circ \)

 Vậy \(\widehat {BIC} = 120^\circ .\)

b) Vì IF là phân giác của góc BIC nên \(\widehat {BIF} = \widehat {CIF} = \frac{{\widehat {BIC}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \)

 Ta có \(\widehat {BIC} + \widehat {BIE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {BIE} = 180^\circ  - \widehat {BIC} = 180^\circ  - 120^\circ  = 60^\circ \)

Xét ∆BEI và ∆BFI có:

\(\widehat {EBI} = \widehat {FBI}\) (chứng minh câu a),

BI là cạnh chung,

\(\widehat {EIB} = \widehat {FIB}\) (cùng bằng 60°),

Do đó ∆BEI = ∆BFI (g.c.g).

Vậy ∆BEI = ∆BFI.

c) Do ∆BEI = ∆BFI (câu b) nên BE = BF (hai cạnh tương ứng).

Ta có \(\widehat {BIC} + \widehat {CID} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {CID} = 180^\circ  - \widehat {BIC} = 180^\circ  - 120^\circ  = 60^\circ \)

Xét ∆CFI và ∆CDI có:

\(\widehat {FCI} = \widehat {DCI}\) (chứng minh câu a),

CI là cạnh chung,

\(\widehat {CIF} = \widehat {CID}\) (cùng bằng 60°),

Suy ra ∆CFI = ∆CDI (g.c.g).

Do đó CF = CD (hai cạnh tương ứng).

Ta có: BC = BF + FC = BE + CD.

Vậy BC = BE + CD.

-- Mod Toán 7 HỌC247