Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Bài 2: Đa thức một biến, nghiệm của đa thức một biến

Trong giờ học môn Mĩ thuật, bạn Hạnh dán lên trang vở hai hình vuông có kích thước lần lượt là 3 cm và x cm như ở Hình 1. Tổng diện tích của hai hình vuông đó là \({x^2} + 9(c{m^2})\).

Biểu thức đại số \({x^2} + 9\)có gì đặc biệt?

a) Viết biểu thức biểu thị:

- Diện tích hình vuông có độ dài cạnh là x cm;

- Thể tích của hình lập phương có độ dài cạnh là 2x cm.

b) Các biểu thức trên có dạng như thế nào?

a) Viết biểu thức biểu thị:

- Quãng đường ô tô đi được trong thời gian x (h), nếu vận tốc là 60 km/h;

- Tổng diện tích của các hình: hình vuông có độ dài cạnh là 2x cm; hình chữ nhật có các kích thước là 3 cm và x cm; hình thoi có độ dài hai đường chéo là 4 cm và 8 cm.

b) Các biểu thức trên có bao nhiêu biến? Mỗi số hạng xuất hiện trong biểu thức có dạng như thế nào?

Biểu thức nào sau đây là đa thức một biến?

a) \({x^2} + 9;\)

b) \(\dfrac{2}{{{x^2}}} + 2x + 1;\)

c) \(3x + \dfrac{2}{5}y.\)

Cho hai đơn thức của cùng biến x là \(2{x^2}\)và \(3{x^2}\).

a) So sánh số mũ của biến x trong hai đơn thức trên.

b) Thực hiện phép cộng \(2{x^2} + 3{x^2}\).

c) So sánh kết quả của hai phép tính: \(2{x^2} + 3{x^2}\) và \((2 + 3){x^2}\).

Thực hiện mỗi phép tính sau:

a) \({x^2} + \dfrac{1}{4}{x^2} - 5{x^2}\);

b) \({y^4} + 6{y^4} - \dfrac{2}{5}{y^4}\).

Cho đa thức \(P(x) = {x^2} + 2{x^2} + 6x + 2x - 3\).

a) Nêu các đơn thức của biến x có trong đa thức P(x).

b) Tìm số mũ của biến x trong từng đơn thức nói trên.

c) Thực hiện phép cộng các đơn thức có cùng số mũ của biến x sao cho trong đơn thức P(x) không còn hai đơn thức nào có cùng số mũ của biến x.

Thu gọn đa thức: \(P(y) =  - 2{y^3} + y + \dfrac{{11}}{7}{y^3} + 3{y^2} - 5 - 6{y^2} + 9\).

Cho đa thức \(R(x) =  - 2{x^2} + 3{x^2} + 6x + 8{x^4} - 1\).

a) Thu gọn đa thức R(x).

b) Trong dạng thu gọn của đa thức R(x), sắp xếp các đơn thức theo số mũ giảm dần của biến.

Sắp xếp đa thức

\(H(x) =  - 0,5{x^8} + 4{x^3} + 5{x^{10}} - 1\) theo:

a) Số mũ giảm dần của biến;

b) Số mũ tăng dần của biến.

Cho đa thức \(P(x) = 9{x^4} + 8{x^3} - 6{x^2} + x - 1 - 9{x^4}\).

a) Thu gọn đa thức P(x).

b) Tìm số mũ cao nhất của x trong dạng thu gọn của P(x).

Cho đa thức

\(R(x) =  - 1975{x^3} + 1945{x^4} + 2021{x^5} - 4,5\).

a) Sắp xếp đa thức R(x) theo số mũ giảm dần của biến.

b) Tìm bậc của đa thức R(x).

c) Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức R(x).

a) Tính giá trị của biểu thức đại số \(3x - 2\) tại x = 2.

b) Tính giá trị của đa thức P(x) = \( - 4x + 6\) tại x = – 3.

Cho đa thức \(P(x) = {x^2} - 3x + 2\). Tính P(1), P(2).

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) x = 4 và x = – 4 là nghiệm của đa thức\(P(x) = {x^2} - 16\).

b) y = – 2 là nghiệm của đa thức \(Q(y) =  - 2{y^3} + 4\).

Biểu thức nào sau đây là đa thức một biến? Tìm biến và bậc của đa thức đó.

a) \( - 2x\);        

b) \( - {x^2} - x + \dfrac{1}{2}\);            

c) \(\dfrac{4}{{{x^2} + 1}} + {x^2}\);

d) \({y^2} - \dfrac{3}{y} + 1\);                 

e) \( - 6z + 8\);              

g) \( - 2{t^{2021}} + 3{t^{2020}} + t - 1\).

Thực hiện mỗi phép tính sau:

a) \(\dfrac{4}{9}x + \dfrac{2}{3}x\);      

b) \( - 12{y^2} + 0,7{y^2}\);   

c) \( - 21{t^3} - 25{t^3}\).

Cho hai đa thức:

\(P(y) =  - 12{y^4} + 5{y^4} + 13{y^3} - 6{y^3} + y - 1 + 9\);

\(Q(y) =  - 20{y^3} + 31{y^3} + 6y - 8y + y - 7 + 11\).

a) Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp mỗi đa thức theo số mũ giảm dần của biến.

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức.

Cho đa thức \(P(x) = a{x^2} + bx + c\)(a ≠ 0). Chứng tỏ rằng:

a) \(P(0) = c\);     

b) \(P(1) = a + b + c\);     

c) \(P( - 1) = a - b + c\)

Kiểm tra xem:

a) \(x = 2,x = \dfrac{4}{3}\) có là nghiệm của đa thức \(P(x) = 3x - 4\) hay không;

b) \(y = 1,y = 4\) có là nghiệm của đa thức \(Q(y) = {y^2} - 5y + 4\) hay không.

Theo tiêu chuẩn của Tổ chức Y tế Thế giới (WHO), đối với bé giá, công thức tính cân nặng tiêu chuẩn là \(C = 9 + 2(N - 1)\) (kg), công thức tính chiều cao tiêu chuẩn là \(H = 75 + 5(N - 1)\) (cm), trong đó N là số tuổi của bé gái.

(Nguồn: http://sankom.vn)

a) Tính cân nặng chuẩn, chiều cao chuẩn của một bé gái 3 tuổi.

b) Một bé gái 3 tuổi nặng 13,5 kg và cao 86 cm. Bé gái đó có đạt tiêu chuẩn về cân nặng và chiều cao của Tổ chức Y tế Thế giới hay không?

Nhà bác học Galileo Galilei (1564 – 1642) là người đầu tiên phát hiện ra quãng đường chuyển động của vật rơi tự do tỉ lệ thuận với bình phương của thời gian chuyển động. Quan hệ giữa quãng đường chuyển động y (m) và thời gian chuyển động x (giây) được biểu diễn gần đúng bởi công thức \(y = 5{x^2}\). Trong một thí nghiệm vật lí, người ta thả một vật nặng từ độ cao 180 m xuống đất (coi sức cản của không khí không đáng kể).

a) Sau 3 giây thì vật nặng còn cách mặt đất bao nhiêu mét?

b) Khi vật nặng còn cách mặt đất 100 m thì nó đã rơi được thời gian bao lâu?

c) Sau bao lâu thì vật chạm đất?

Pound là một đơn vị đo khối lượng truyền thống của Anh, Mỹ và một số quốc gia khác. Công thức tính khối lượng y (kg) theo x (pound) là: \(y = 0,45359237x\).

a) Tính giá trị của y (kg) khi x = 100 (pound).

b) Một hãng hàng không quốc tế quy định mỗi hành khách được mang hai va li không tính cước; mỗi va li cân nặng không vượt quá 23 kg. Hỏi với va li cân nặng 50,99 pound sau khi quy đổi sang ki-lô-gam và được phép làm tròn đến hàng đơn vị thì có vượt quá quy định trên hay không?

Lực F (N) của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc v (m/s) của gió, ta có công thức F = 30v².

a) Tính lực F khi v =15; v = 20

b) Biết cánh buồm chỉ có thể chịu được áp lực tối đa là 12 000 N, hỏi con thuyền có thể đi được trong gió bão với vận tốc gió 90 km/h hay không?

Dung tích phổi của mỗi người phụ thuộc vào một số yếu tố, trong đó có hai yếu tố quan trọng là chiều cao và độ tuổi. Các nhà khoa học đã đưa ra công thức ước tính dung tích chuẩn phổi của mỗi người theo giới tính như sau:

Nam: P = 0,057h - 0,022a - 4,23

Nữ: Q = 0,041h - 0,018a - 2,69

Trong đó: h là chiều cao tính bằng xăng-ti-mét, a là tuổi tính bằng năm; P và Q là dung tích chuẩn của phổi tính bằng lít.

(Nguồn: Toán 7, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2020)

a) Theo công thức trên, nếu bạn Chi (nữ) 13 tuổi, cao 150 cm và bạn Hùng (nam) 13 tuổi, cao 160 cm thì dung tích chuẩn phổi của mỗi bạn là bao nhiêu?

b) Em hãy tính dung tích chuẩn phổi của mình theo công thức trên.

Cho đa thức \(R(x) = {x^2} + 5{x^4} - 3{x^3} + {x^2} + 4{x^4} + 3{x^3} - x + 5\)

a) Thu gọn và sắp xếp đa thức R(x) theo số mũ giảm dần của biến

b) Tìm bậc của đa thức R(x)

c) Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức R(x)

d) Tính R(−1), R(0), R(1), R(−a) (với a là một số)

Cho đa thức \(P(x) = 4{x^4} + 2{x^3} - {x^4} - {x^2}\)

a) Tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức P(x).

b) Mỗi phần tử của tập hợp \(\left\{ { - 1;\frac{1}{2}} \right\}\) có là nghiệm của đa thức P(x) không? Vì sao?      

Tìm bậc của mỗi đa thức sau:

a) \(2 - 3{x^2} + 5{x^4} - x - {x^2} - 5{x^4} + 3{x^3}\)         

b) \(2{x^3} - 6{x^7}\)

c) 1 – x           

d) -3         

e) 0 

Kiểm tra xem:

a) \(x = \frac{1}{2},x =  - \frac{1}{2}\) có là nghiệm của đa thức P(x) = 2x – 1 hay không

b) \(x = 2,x =  - \frac{1}{2}\) có là nghiệm của đa thức Q(x) = -3x + 6 hay không

c) t = 0, t = 2 có là nghiệm của đa thức R(t) = t² + 2t hay không,

d) t = 0, t = 1, t = −1 có là nghiệm của đa thức H(t)= t³ - t hay không

Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm:

a) x² + 4               

b) \(10{x^2} + \frac{3}{4}\)             

c) \({(x - 1)^2} + 7\)

Đố ?

Tác phẩm “TRUYỆN ......” là một truyện thơ của đại thi hào Nguyễn Du. Tác phẩm đó được xem là một trong những truyện thơ nổi tiếng nhất và xét vào hàng kinh điển trong văn học Việt Nam, nó được viết theo thể thơ lục bát, gồm 3 254 câu.

Em sẽ biết từ còn thiếu của tên truyện thơ trên bằng cách thu gọn mỗi đa thức sau rồi viết các chữ tương ứng với kết quả tìm được vào các ô trống trong bảng dưới đây:    

I. \(3{x^3} + \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^3}\)                  

Ê. \(2021x + ( - 2021x)\)

K. \( - \frac{1}{5}{x^4} - \frac{1}{2}{x^4} + \frac{1}{7}{x^4}\)                   

U. \(6{x^2} + \frac{1}{6}{x^2} - \frac{1}{5}{x^2}\)