Hoạt động khám phá 2 trang 43 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Phương pháp giải:

Tính giới hạn \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).

Lời giải chi tiết:

Với bất kì \({x_0} > 0\), ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x  - \sqrt {{x_0}} }}{{x - {x_0}}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {\sqrt x  - \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt {{x_0}} } \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt {{x_0}} } \right)}}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x - {x_0}}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt {{x_0}} } \right)}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\sqrt x  + \sqrt {{x_0}} }}\\
 = \frac{1}{{\sqrt {{x_0}}  + \sqrt {{x_0}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}
\end{array}
\end{array}\)

Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

-- Mod Toán 11 HỌC247