Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

Trong thực tiễn, ta thường gặp nhiều đồ dùng, vật thể gợi nên hình ảnh hình lăng trụ, hình hộp. Chẳng hạn: Khung lịch để bàn (Hình 68); Tháp đôi Puerta de Europa ở Madrid, Tây Ban Nha (Hình 69), …

Hình lăng trụ và hình hộp là hình như thế nào?

Cho hai mặt phẳng song song (P) và (P’). Trong mặt phẳng (P), cho đa giác A₁A₂….A_n. Qua các đỉnh A₁, A₂, ..., A_n vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt mặt phẳng (P’) lần lượt tại A₁’, A₂­’, ..., A_n’ (Hình 70 minh hoạ cho trường hợp n = 5).

a) Các tứ giác A₁A₂A₂’A₁’, A₂A₃A₃’A₂’, …, A_nA₁A₁’A_n’ là những hình gì?

b) Các cạnh tương ứng của hai đa giác A₁A₂…A_n và A₁’A₂’…A_n’ có đặc điểm gì?

Từ định nghĩa hình lăng trụ, nhận xét đặc điểm các mặt bên, cạnh bên và hai mặt đáy của hình lăng trụ?

Cho một số ví dụ về những đồ dùng, vật thể trong thực tế có dạng hình lăng trụ?

Vẽ hình lăng trụ \(ABCD.A’B’C’D’\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành?

Hãy liệt kê các đường chéo của hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) (Hình 73)?

Nêu nhận xét gì về hai mặt phẳng chứa hai mặt đối diện của hình hộp?

Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\). Chứng minh rằng bốn mặt phẳng \((ABC’D’),~(BCD’A’),~(CDA’B’),~(DAB’C’)\) cùng đi qua một điểm?

Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C D’\).

a) Chứng minh rằng \((ACB’) // (A’C’D)\)?

b) Gọi G₁, G₂ lần lượt là giao điểm của BD’ với các mặt phẳng \((ACB’)\) và \((A’C’D)\). Chứng minh rằng G₁, G₂ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(ACB’\) và \(A’C’D\)?

c) Chứng minh rằng BG₁ = G₁G₂ = D’G₂?

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AA’, C’D’, AD’. Chứng minh rằng:

a) NQ // A’D’ và NQ = $\frac{1}{2}$ A’D’?

b) Tứ giác MNQC là hình bình hành?

c) MN // (ACD’)?

d) (MNP) // (ACD’).

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và A’B’.

a) Chứng minh rằng EF // (BCC’B’)?

b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng CF với mặt phẳng (AC’B). Chứng minh rằng I là trung điểm đoạn thẳng CF?

Số đường chéo trong một hình hộp là:

A. 4

B. 24

C. 28

D. 2

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\), \(B'C'\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\left( {A'MN} \right)\parallel \left( {ACC'} \right)\)

B. \(\left( {A'BN} \right)\parallel \left( {AC'M} \right)\)

C. \(C'M\parallel \left( {A'B'B} \right)\)

D. \(BN\parallel \left( {ACC'A'} \right)\)

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Khẳng định nào sau đây là SAI?

A. Các mặt của hình hộp là các hình bình hành.

B. Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai mặt đối diện của hình hộp song song với nhau.

C. Các đoạn thẳng \(AC'\), \(A'C\), \(BD'\), \(B'D\) bằng nhau.

D. Các đường thẳng \(AC'\), \(A'C\), \(BD'\), \(B'D\) đồng quy.

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(A'B'\), \(B'C'\). Gọi \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\) và \(\left( {ACC'A'} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(d\parallel AA'\)

B. \(d\parallel BC\)

C. \(d\parallel B'C'\)

D. \(d\parallel A'C'\)

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Mặt phẳng \(\left( {BA'C'} \right)\) song song với mặt phẳng nào dưới đây?

A. \(\left( {ACD} \right)\)

B. \(\left( {ADD'} \right)\)

C. \(\left( {DCD'} \right)\)

D. \(\left( {AD'C} \right)\)

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(A'C'\).

a) Chứng minh rằng \(A'B\parallel \left( {B'CM} \right)\).

b) Xác định giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'BC'} \right)\).

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(BC\), \(CC'\), \(C'D'\), \(D'A'\), \(AA'\). Chứng minh rằng:

a) Sáu điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) cùng thuộc một mặt phẳng.

b) Các đoạn thẳng \(MQ\), \(NR\), \(PS\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(G\), \(I\), \(K\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\), \(A'B'C'\), \(A'B'B\).

a) Chứng minh rằng \(IK\parallel \left( {BCC'B'} \right)\).

b) Chứng minh rằng \(\left( {AGK} \right)\parallel \left( {A'IC} \right)\).

c) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(K\) và song song với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt \(A'C\) tại điểm \(L\). Tính \(\frac{{LA'}}{{LC}}\).

Chứng minh rằng trong một hình hộp, tổng bình phương của bốn đường chéo bằng tổng bình phương của tất cả các cạnh?

Phần trong của một bể đựng nước được xây có dạng hình hộp như hình dưới đây. Để xác định tỉ số của độ cao mực nước trong bể với chiều cao của lòng bể, bạn Minh làm như sau: “Lấy một thanh thước thẳng đủ dài cắm vào bể sao cho một đầu chạm đáy bể và để thước tựa vào mép dưới của thành miệng bể, đánh dấu điểm tựa. Sau đó rút thước lên, tính tỉ số độ dài của phần thước chìm trong nước và độ dài của phần thước từ điểm được đánh dấu đến điểm đầu chạm đáy bể. Tỉ số đó chính bằng tỉ số của độ cao mực nước trong bể với chiều cao lòng bể”. Bạn Minh làm có đúng không? Vì sao?