Giải bài tập SGK Ôn tập cuối năm Đại số & Giải Tích 11 Cơ bản & Nâng cao

Nêu định nghĩa các hàm số lượng giác. Chỉ rõ tập xác định và giá trị của từng hàm số đó.

Cho biết chu kì của mỗi hàm số y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.

Nêu cách giải phương trình lượng giác cơ bản, cách giải phương trình asinx + bcosx = c.

Viết công thức tính số hoán vị của tập hợp gồm n phần tử (n > 1). Nêu ví dụ.

Viết công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử, công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử. Cho ví dụ.

Viết công thức nhị thức Niutơn.

Phát biểu định nghĩa xác suất của biến cố.

Nêu rõ các bước chứng minh bằng quy nạp toán học và cho ví dụ

Phát biểu định nghĩa cấp số cộng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng.

Phát biểu định nghĩa cấp số nhân và công thức tổng n số hạng đầu tiên của một cập số nhân.

Dãy số U_n thỏa mãn điều kiện gì thì được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực?

Viết công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.

Định nghĩa hàm số có giới hạn \(+\infty\) khi \(x\rightarrow -\infty\).

Nêu các giới hạn đặc biệt của dãy số.

Nêu định nghĩa hàm liên túc tại một điểm, trên một khoảng. Nêu hình ảnh hình học của một hàm số liên tục trên một khoảng.

Phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x = x_o.

Viết tất cả các quy tắc tính đạo hàm đã học.

Giả sử hàm số g = f(x) có đạo hàm tại x_o. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số g = f(x) tại điểm M_o (x_o;f(x_o)).

Cho hàm số y = cos2x.

a) Chứng minh rằng \(cos2(x+k\pi )=cos2x\) với mọi số nguyên k. Từ đó về đồ thị (C) của hàm số y = cos2x.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ \(x=\frac{\pi }{3}.\)

c) Tìm tập xác định của hàm số \(z=\sqrt{\frac{1-cos2x}{1+cos^22x}}\)

Cho hàm số \(y=\frac{5}{7+6sin2x}.\)

a) Tính \(A=\frac{5}{7+6sin2x}\), biết \(tana=0,2\).

b) Tính đạo hàm của hàm số đã cho.

c) Xác định các khoảng nghịch biến của hàm số đã cho.

Giải các phương trình: 

a) \(2sin\frac{x}{2}cos^2x-2sin\frac{x}{2}sin^2x=cos^2x-sin^2x;\)

b) \(3cosx+4sinx=5;\)

c) \(sinx+cosx=1+cosxsinx;\)

d) \(\sqrt{1-cosx}=sinx(x\in \left [ \pi ;3\pi \right ]);\)

e) \(\left ( cos\frac{x}{4} -2sinx \right )sinx+\left ( 1+sin\frac{\pi }{4}-2cosx \right )cosx=0.\)

Trong một bệnh viện có 40 bác sĩ ngoại khoa. Hỏi có bao nhiêu cách phân công ca mổ, nếu mỗi ca gồm:

a) Một bác sĩ mổ và một bác sĩ phụ?

b) Một bác sĩ mổ và bốn bác sĩ phụ?

Tìm số hạng không chứa trong khai triển của nhị thức: \({\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + {a^2}} \right)^{10}}\)

Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ một tổ gồm có 6 nam và 4 nữ. Tính xác xuất sao cho:

a) Cả 3 học sinh đều là nam.

b) Có ít nhất một nam.

Một tiểu đội có 10 người được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc, trong đó có anh A và anh B. Tính xác xuất sao cho:

a) A và B đứng liền nhau;

b) Trong hai người đó có một người đứng ở vị trí số 1 và một người kia đứng ở vị trí cuối cùng.

Tìm một cấp số cộng tăng, biết rằng tổng ba số hạng đầu của nó bằng 27 và tổng các bình phương của chúng bằng 275.

Cho biết một cấp số nhân, hiệu của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 2 bằng 12 và nếu thêm 10 vào số hạng thứ nhất, thêm 8 vào số hạng thứ 2 còn giữa nguyên số hạng thứ 3 thì 3 bố mới lập thành một cấp số cộng. Hãy tính tổng hạng đầu của cáp số nhân đó.

Tính các giới hạn:

a) \(lim \frac{(n+1)(3-2n)^2}{n^3+1}\)

b) \(lim \left ( \frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+1}+\frac{3}{n^2+1}+...+ \frac{n-1}{n^2+1} \right );\)

c) \(lim \frac{\sqrt{4n^2+1}+n}{2n+1}\)

d) \(lim \sqrt{n}(\sqrt{n-1}-\sqrt{n})\)

Cho hai dãy số \((u_n),(v_n)\) với \(u_n=\frac{n}{n^2+1}\) và \(v_n=\frac{n cos \frac{\pi }{2}}{n^2+1}.\)

a) Tính \(lim u_n.\)

b) Chứng minh rằng \(lim v_n=0\).​

Chứng minh rằng hàm số y = cosx không có giới hạn khi \(x\rightarrow +\infty\).

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim_{x\rightarrow -2}\frac{6-3x}{\sqrt{2x^2+1}}\)

b) \(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-\sqrt{3x-2}}{x^2-4}\)

c) \(\lim_{x\rightarrow 2^+}\frac{x^2-3x+1}{x-2}\)

d) \(\lim_{x\rightarrow 1^-}(x+x^2+...+x^n-\frac{n}{1-x})\)

e) \(\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{2x-1}{x+3}\)

f) \(\lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{x+\sqrt{4x^2-1}}{2-3x}\)

g) \(\lim_{x\rightarrow -\infty } (-2x^3+x^2-3x+1).\)

Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm: sin x = x – 1.

Phương trình sau có nghiệm hay không trong khoảng (-1; 3)?\(x^4-3x^3+x-1=0.\)

Giải các phương trình:

a) \(f'(x)=g(x)\) với \(f(x)=sin^32x\) và \(g(x)=4cos2x -5sin4x;\)

b) \(f'(x)=0\) với \(f(x)=20cos3x+12cos5x-15cos4x\)

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y=\frac{1}{cos^23x}\)

b) \(y=\frac{cos\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\)

c) \(y=(2-x^2)cosx+2xsinx\)

d) \(y=\frac{sinx-xcosx}{cosx+xsinx}\)

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) \(y=\frac{1}{x+1}\)

b) \(y=\frac{1}{x(1-x)}\)

c) \(y=sinax\) (a là hằng số)

d) \(y=sin^2x.\)

Cho hàm số: \(f(x)=x^4+bx^2+cx+d. \ (C)\)

Hãy xác định các số b, c, d biết rằng đồ thị (C) của hàm số \(y=f(x)\) đi qua các điểm \((-1;-3);(1;-1)\) và \(f'(\frac{1}{3})=0\).

Cho các hàm số 

\(f(x)=x^3+bx^2+cx+d, (C)\)

\(g(x)=x^2-3x+1\)

Với các số b, c, d tìm được ở bài 19, hãy:

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x =- 1.

b) Giải phương trình \(f'(sinx)=0.\)

c) Tìm \(\lim_{x\rightarrow 0}=\frac{f''(sin5x)+1}{g'(sin3x)+3}\)​

a. Tính \(\sin \frac{\pi }{8}\) và \(\cos\frac{\pi }{8}\)

b. Chứng minh rằng có hằng số C > 0 để có đẳng thức

\(\sin x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)\cos x = C\cos \left( {x - \frac{{3\pi }}{8}} \right)\) với mọi x.

Giải phương trình

\(\tan x = \cot 2x\)

Biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác.

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\left( x \right) = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^3}\)

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\)

c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(R\left( x \right) = P\left( x \right) + Q\left( x \right)\)

Giải các phương trình :

a. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{3}{4}\)

b. \({\sin ^2}2x - {\sin ^2}x = {\sin ^2}\frac{\pi }{4}\)

c. \(\cos x\cos 2x = \cos 3x\)

d. \(\tan 2x - \sin 2x + \cos 2x - 1 = 0\)

Giải các phương trình sau :

a. \(2\sin \left( {x + {{10}^0}} \right) - \sqrt {12} \cos \left( {x + {{10}^0}} \right) = 3\)

b. \(\sqrt 3 \cos 5x + \sin 5x = 2\cos 3x\)

c. \({\sin ^2}x - 3\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x = 0\)

Giải các phương trình sau :

a. \({\tan ^2}x + 3 = \frac{3}{{\cos x}}\)

b. \({\tan ^2}x = \frac{{1 + \cos x}}{{1 + \sin x}}\)

c. \(\tan x + \tan 2x = \frac{{\sin 3x}}{{\cos x}}\)

Một toa tàu nhỏ có 3 toa khách đỗ ở sân ga. Có 3 hành khách bước lên tàu. Hỏi :

a. Có bao nhiêu khả năng trong đó 3 hành khách lên 3 toa khách nhau ?

b. Có bao nhiêu khả năng trong đó 2 hành khách cùng lên một toa, còn hành khách thứ ba thì lên toa khác ?

Cho tập hợp A={1,2,3,...,n} với n ∈ N, n > 1. Hỏi có bao nhiêu cặp (x ; y) với x ϵ A, y ϵ A và x > y ?

Một túi chứa 16 viên bi, trong đó có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ.

a. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong túi.

- Tính xác suất để được 2 viên bi đen.

- Tính xác suất để được 1 viên bi đen và 1 viên bi trắng.

b. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong túi.

- Tính xác suất để được 3 viên bi đỏ.

- Tính xác suất để được 3 viên bi với 3 màu khác nhau.

Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số điểm mà một vận động viên bắn cung nhận được khi bắn một lần. Giả sử X có bảng phân bố xác suất như sau :

a. Tính điểm trung bình khi vận động viên đó bắn một lần

b. Tính điểm trung bình khi vận động viên đó bắn 48 lần.

Ta đã biết \(\cos \frac{\pi }{{{2^2}}} = \frac{1}{2}\sqrt 2 \)$.$ Chứng minh rằng :

a. \(\cos \frac{\pi }{{{2^3}}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \)

b. \(\cos \frac{\pi }{{{2^n}}} = \frac{1}{2}\underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {....... + \sqrt 2 } } } }_{n - 1}\) (1) với mọi số nguyên n ≥ 2.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 3\)$\text{ và ({u\_n} = 4{u\_{n - 1}} - 1)}$ với mọi n ≥ 2

Chứng minh rằng :

a. \({u_n} = \frac{{{2^{2n + 1}} + 1}}{3}\) (1) với mọi số nguyên n ≥ 1

b. (u­_n) là môt dãy số tăng.

Cho dãy số (un) xác định bởi

\({u_1} = 5\) và \({u_n} = {u_{n - 1}} - 2\) với mọi n ≥ 2

a. Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n)

b. Hãy tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số (u_n).

Cho dãy số (u­­­­_n) xác định bởi :

\({u_1} = 2\) và \({u_n} = 3{u_{n - 1}}\) với mọi n ≥ 2

a. Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n);

b. Hãy tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số (u_n).

Các số x – y, x + y và 3x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời các số x – 2, y + 2 và 2x + 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Hãy tìm x và y

Tính giới hạn của các dãy số sau :

 a. \(\lim \frac{{{n^4} - 40{n^3} + 15n - 7}}{{{n^4} + n + 100}}\)

b. \(\lim \frac{{2{n^3} + 35{n^2} - 10n + 3}}{{5{n^5} - {n^3} + 2n}}\)

c. \(\lim \frac{{\sqrt {6{n^4} + n + 1} }}{{2n + 1}}\)

d. \(\lim \frac{{{{3.2}^n} - {{8.7}^n}}}{{{{4.3}^n} + {{5.7}^n}}}\)

Tính các giới hạn sau :

a. \(\lim \sqrt {3{n^4} - 10n + 12} \)

b. \(\lim \left( {{{2.3}^n} - {{5.4}^n}} \right)\)

c. \(\lim \left( {\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1}  - {n^2}} \right)\)

d. \(\lim \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + 2n}  - n}}\)

Tìm số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng số hạng thứ hai là \(\frac{{12}}{5}\) và tổng của cấp số nhân này là 15.

Tính giới hạn của các hàm số sau :

a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} + x + 10}}{{{x^3} + 6}}\)

b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 5} \frac{{{x^2} + 11x + 30}}{{25 - {x^2}}}\)

c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^6} + 4{x^2} + x - 2}}{{{{\left( {{x^3} + 2} \right)}^2}}}\)

d. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} + x - 40}}{{2{x^5} + 7{x^4} + 21}}\)

e. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {2{x^4} + 4{x^2} + 3} }}{{2x + 1}}\)

f. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2x + 1} \right)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{2{x^3} + x}}} \)

g. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {9{x^2} + 11x - 100} \)

h. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {5{x^2} + 1}  - x\sqrt 5 } \right)\)

i. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + x + 1}  - x}}\)

Chứng minh rằng phương trình \({x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\) luôn có ít nhất một nghiệm.

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a. \(y = \frac{{a{x^3} + b{x^2} + c}}{{\left( {a + b} \right)x}}\) (a, b, c là các hằng số)

b. \(y = {\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^3}}} + 3} \right)^4}\)

c. \(y = {x^3}{\cos ^2}x\)

d. \(y = \sin \sqrt {4 + {x^2}} \)

e. \(y = \sqrt {1 + \tan \left( {x + \frac{1}{x}} \right)} \)

Cho hàm số \(y = m{x^3} + {x^2} + x - 5\)$\mathrm{.}$ Tìm m để :

a. y’ bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất ;

b. y’ có hai nghiệm trái dấu ;

c. y′ > 0 với mọi x.

Giải các phương trình sau :

a. \(y' = 0\) với \(y = \frac{1}{2}\sin 2x + \sin x - 3\)

b. \(y' = 0\) với \(y = \sin 3x - 2\cos 3x - 3x + 4\) 

Cho hyperbol (H) xác định bởi phương trình \(y = \frac{1}{x}\)

a. Tìm phương trình tiếp tuyến (T) của (H) tại tiếp điểm A có hoành độ a (với a ≠ 0)

b. Giả sử (T) cắt trục Ox tại điểm I và cắt trục Oy tại điểm J. Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn thẳng IJ. Từ đó suy ra cách vẽ tiếp tuyến (T).

c. Chứng minh rằng diện tích tam giác OIJ không phụ thuộc vào vị trí của điểm A.

Một điểm M chuyển động trên parabol \(y =  - {x^2} + 17x - 66\) theo hướng tăng của x. Một người quan sát đứng ở vị trí P(2 ; 0)

Hãy xác định các giá trị của hoành độ điểm M để người quan sát có thể nhìn thấy được điểm M.