Bài tập 12 trang 225 SGK Toán 11 NC

a. Với n = 1 ta có \({u_1} = 3 = \frac{{{2^3} + 1}}{3}\)

(1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có : 

\({u_k} = \frac{{{2^{2k + 1}} + 1}}{3}\)

Với n = k + 1 ta có :

\(\begin{array}{l}
{u_{k + 1}} = 4{u_k} - 1 = 4.\frac{{{2^{2k + 1}} + 1}}{3} - 1\\
 = \frac{{4\left( {{2^{2k + 1}} + 1} \right) - 3}}{3} = \frac{{{2^{2k + 3}} + 1}}{3}\\
 = \frac{{{2^{2\left( {k + 1} \right) + 1}} + 1}}{3}
\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với ∀ n ≥ 1

b. Ta có:

\(\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{2^{2n + 3}} + 1}}{3} - \frac{{{2^{2n + 1}} + 1}}{3}\\
 = \frac{{{2^{2n + 1}}\left( {{2^2} - 1} \right)}}{3} = {2^{2n + 1}} > 0\\
 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}
\end{array}\)

⇒ (u_n) là dãy số tăng.

-- Mod Toán 11 HỌC247