Bài tập 11 trang 225 SGK Toán 11 NC

a.

\(\begin{array}{l}
{\cos ^2}\frac{\pi }{{{2^3}}} = {\cos ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 + \cos \frac{\pi }{4}}}{2}\\
 = \frac{{1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}\\
 \Rightarrow \cos \frac{\pi }{{{2^3}}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } 
\end{array}\)

b. Với n = 2 ta có \(\cos \frac{\pi }{4} = \frac{1}{2}\sqrt 2 \left( 1 \right)\) đúng.

Giả sử (1) đúng với n = k tức là :

\(\cos \frac{\pi }{{{2^k}}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \) 

(k – 1 dấu căn)

Với n = k + 1 ta có

\(\begin{array}{l}
{\cos ^2}\frac{\pi }{{{2^{k + 1}}}} = \frac{1}{2}\left( {1 + \cos \frac{\pi }{{{2^k}}}} \right)\\
 = \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right)\\
 = \frac{1}{4}\left( {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right)\\
 \Rightarrow \cos \frac{\pi }{{{2^{k + 1}}}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } 
\end{array}\)

(k dấu căn)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với \(\forall n \ge 2\).

-- Mod Toán 11 HỌC247