Bài tập 3.33 trang 131 SBT Toán 11

a) Để chứng minh (x_n) là cấp số nhân ta chỉ ra tỉ số \(\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\) là hằng số:

Theo giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}

{u_{n + 1}} = \frac{{2{u_n} + 3}}{{{u_n} + 4}}\\

 \Leftrightarrow {u_{n + 1}}({u_n} + 4) = 2{u_n} + 3\\

 \Leftrightarrow {u_{n + 1}}.{u_n} + 4{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3\\

 \Leftrightarrow {u_{n + 1}}{u_n} = 2{u_n} - 4{u_{n + 1}} + 3

\end{array}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}

\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \frac{{{u_{n + 1}} - 1}}{{{u_{n + 1}} + 3}}:\frac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}} = \frac{{\left( {{u_{n + 1}} - 1} \right)\left( {{u_n} + 3} \right)}}{{\left( {{u_{n + 1}} + 3} \right)\left( {{u_n} - 1} \right)}}\\

 = \frac{{{u_{n + 1}}.{u_n} - {u_n} + 3{u_{n + 1}} - 3}}{{{u_{n + 1}}.{u_n} + 3{u_n} - {u_{n + 1}} - 3}}\\

 = \frac{{2{u_n} - 4{u_{n + 1}} + 3 - {u_n} + 3{u_{n + 1}} - 3}}{{2{u_n} - 4{u_{n + 1}} + 3 + 3{u_n} - {u_{n + 1}} - 3}}\\

 = \frac{{{u_n} - {u_{n + 1}}}}{{5{u_n} - 5{u_{n + 1}}}} = \frac{1}{5}

\end{array}\)

Vậy (xn) là cấp số nhân với \({x_1} =  - \frac{1}{3},q = \frac{1}{5}\)

b) \({x_n} = \left( { - \frac{1}{3}} \right).{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{n - 1}}\)

Từ giả thiết 

\(\begin{array}{l}

{x_n} = \frac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}} \Rightarrow {u_n} = \frac{{3{x_n} - 1}}{{1 - {x_n}}} = \frac{{3\left( { - \frac{1}{3}} \right){{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n} - 1}}{{1 - \left( { - \frac{1}{3}} \right){{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}}}\\

 = \frac{{ - {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n} - 1}}{{1 + \frac{1}{3}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}}}

\end{array}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247