Bài tập 2.28 trang 77 SBT Hình học 11

a) TH1: I thuộc đoạn AO (0 < x < \(\frac{a}{2}\))

Khi đó I ở vị trí I₁

Ta có: (α) // (SBD) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha  \right)\parallel BD\\
\left( \alpha  \right)SO
\end{array} \right.\)

Vì (α) // BD nên (α) cắt (ABD) theo giao tuyến M₁N₁ (qua I₁) song song với BD

Tương tự (α) // SO nên (α) cắt (SOA) theo giao tuyến S₁T₁ song song với SO.

Ta có thiết diện trong trường hợp này là tam giác S₁M₁N₁.

Nhận xét. Dễ thấy rằng S₁M₁ // SB và S₁N₁ // SD. Lúc đó tam giác S₁M₁N₁ đều.

TH2: I thuộc đoạn OC (\(\frac{a}{2}\) < x < a)

Khi đó I ở vị trí I₂. Tương tự như TH1 ta có thiết diện là tam giác đều S₂M₂N₂ có M₂N₂ // BD, S₂M₂ // SB, S₂N₂ // SD.

TH3: I ≡ O. Thiết diện chính là tam giác đều SBD.

b) Ta lần lượt tìm diện tích thiết diện trong các trường hợp 1, 2, 3.

TH1: I thuộc đoạn AO (0 < x < \(\frac{a}{2}\))

 \(\begin{array}{r}
\frac{{{S_{{S_1}{M_1}{N_1}}}}}{{{S_{SBD}}}} = {\left( {\frac{{{M_1}{N_1}}}{{BD}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{2x}}{a}} \right)^2}\\
{S_{{S_1}{M_1}{N_1}}} = \frac{{4{x^2}}}{{{a^2}}}.{S_{SBD}} = \frac{{4{x^2}}}{{{a^2}}}.\frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{b^2}{x^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}
\end{array}\)

\({S_{{S_1}{M_1}{N_1}}} = \frac{{4{x^2}}}{{{a^2}}}.{S_{SBD}} = \frac{{4{x^2}}}{{{a^2}}}.\frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{b^2}{x^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\)

TH2: I thuộc đoạn OC (\(\frac{a}{2}\) < x < a)

\({S_{{S_1}{M_1}{N_1}}} = \frac{{4{x^2}}}{{{a^2}}}.{S_{SBD}} = \frac{{4{x^2}}}{{{a^2}}}.\frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{b^2}{x^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\)

\({S_{{S_2}{M_2}{N_2}}} = \frac{4}{{{a^2}}}{\left( {a - x} \right)^2}.\frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}{\left( {a - x} \right)^2}\)

TH3: I ≡ O.

\({S_{SBD}} = \frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Tóm lại

\({S_{td}} = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{b^2}{x^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}},\,\,\,0 < x < \frac{a}{2}\\
\frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4},\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{3}{2}\\
\frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}{\left( {a - x} \right)^2},\,\,\,\frac{a}{2} < x < a
\end{array} \right.\)

∗ Đồ thị của hàm số S theo biến x như sau:

Vậy S thiết diện lớn nhất khi và chỉ khi x = \(\frac{a}{2}\).

-- Mod Toán 11 HỌC247