Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Phương trình quy về bậc hai

Trong hình bên, các tam giác vuông được xếp với nhau để tạo thành một đường tương tự đường xoắn ốc. Với x bằng bao nhiêu thì \(OA = \frac{1}{2}OC\)?

Lời giải cho phương trình \(\sqrt { - 2{x^2} - 2x + 11}  = \sqrt { - {x^2} + 3} \) như sau đúng hai sai?

\(\)\(\sqrt { - 2{x^2} - 2x + 11}  = \sqrt { - {x^2} + 3} \)           

\( \Rightarrow  - 2{x^2} - 2x + 11 =  - {x^2} + 3\) (bình phương cả hai vế để làm mất dấu căn)

\( \Rightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0\)  (chuyển vế, rút gọn)

\( \Rightarrow x = 2\) hoặc \(x =  - 4\)  (giải phương trình bậc hai)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 2 và -4

Giải phương trình \(\sqrt {31{x^2} - 58x + 1}  = \sqrt {10{x^2} - 11x - 19} \)

Lời giải cho phương trình \(\sqrt { - {x^2} + x + 1}  = x\) như sau đúng hai sai?

\(\)\(\sqrt { - {x^2} + x + 1}  = x\)               

\( \Rightarrow  - {x^2} + x + 1 = {x^2}\)  (bình phương cả hai vế để làm mất dấu căn)

\( \Rightarrow  - 2{x^2} + x + 1 = 0\)   (chuyển vế, rút gọn)

\( \Rightarrow x = 1\) hoặc \(x =  - \frac{1}{2}\) (giải phương trình bậc hai)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1 và \( - \frac{1}{2}\)

Giải phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 27x - 41}  = 2x + 3\)

Cho tam giác OAB và OBC lần lượt vuông tại A và B như hình 1. Các cạnh AB và BC bằng nhau và ngắn hơn OB là 1 cm. Hãy biểu diễn độ dài OC và OA qua OB, từ đó xác định OB để:

a) \(OC = 3OA;\)

b) \(OC = \frac{5}{4}OB\)

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt {11{x^2} - 14x - 12}  = \sqrt {3{x^2} + 4x - 7} \)

b) \(\sqrt {{x^2} + x - 42}  = \sqrt {2x - 30} \)

c) \(2\sqrt {{x^2} - x - 1}  = \sqrt {{x^2} + 2x + 5} \)

d) \(3\sqrt {{x^2} + x - 1}  - \sqrt {7{x^2} + 2x - 5}  = 0\)

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt {{x^2} + 3x + 1}  = 3\)

b) \(\sqrt {{x^2} - x - 4}  = x + 2\)

c) \(2 + \sqrt {12 - 2x}  = x\)

d) \(\sqrt {2{x^2} - 3x - 10}  =  - 5\)

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB ngắn hơn AC là 2 cm.

a) Biểu diễn độ dài cạnh huyền BC theo AB

b) Biết chu vi của tam giác ABC là 24 cm. Tính độ dài ba cạnh của tam giác đó.

Một con tàu biển M rời cảng O và chuyển động thẳng theo phương tạo với bờ biển một góc \(60^\circ \). Trên bờ biển có hai đài quan sát A và B nằm về hai phía so với cảng O và lần lượt cách cảng O khoảng 1km và 2km (Hình 2).

a) Đặt độ dài của MO là x km. Biểu diễn khoảng cách từ tàu đến A và từ tàu đến B theo x.

b) Tìm x để khoảng cách từ tàu đến B bằng \(\frac{4}{5}\) khoảng cách từ tàu đến A

c) Tìm x để khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O đúng 500 m.

Lưu ý: Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm. 

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt {4{x^2} + 15x - 19}  = \sqrt {5{x^2} + 23x - 14} \)    

b) \(\sqrt {8{x^2} + 10x - 3}  = \sqrt {29{x^2} - 7x - 1} \)

c) \(\sqrt { - 4{x^2} - 5x + 8}  = \sqrt {2{x^2} + 2x - 2} \)

d) \(\sqrt {5{x^2} + 25x + 13}  = \sqrt {20{x^2} - 9x + 28} \)

e) \(\sqrt { - {x^2} - 2x + 7}  = \sqrt { - x - 13} \)

Giải các phương trình sau:

a) \(2\sqrt {{x^2} + 4x - 7}  = \sqrt { - 4{x^2} + 38x - 43} \)

b) \(\sqrt {6{x^2} + 7x - 1}  - \sqrt { - 29{x^2} - 41x + 10}  = 0\)

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt { - {x^2} + 7x + 13}  = 5\)   

b) \(\sqrt { - {x^2} + 3x + 7}  = 3\)

c) \(\sqrt {69{x^2} - 52x + 4}  =  - 6x + 4\)

d) \(\sqrt { - {x^2} - 4x + 22}  =  - 2x + 5\)

e) \(\sqrt {4x + 30}  = 2x + 3\)

g) \(\sqrt { - 57x + 139}  = 3x - 11\)

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt { - 7{x^2} - 60x + 27}  + 3\left( {x - 1} \right) = 0\)     

b) \(\sqrt {3{x^2} - 9x - 5}  + 2x = 5\)

c) \(\sqrt { - 2x + 8}  - x + 6 = x\)

Khoảng cách từ nhà An ở vị trí N đến cột điện C là 10 m. Từ nhà, An đi x mét theo phương tạo với NC một góc \(60^\circ \) đến vị trí A sau đó đi tiếp 3 m đến vị trí B như hình 1.

a)  Biểu diễn khoảng cách AC và BC theo x 

b) Tìm x để \(AC = \frac{8}{9}BC\)

c) Tìm x để khoảng cách \(BC = 2AN\)