Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0˚ đến 180˚

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O bán kính \(R = 1\) nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị. Cho trước một góc nhọn \(\alpha ,\)lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha .\) Giả sử điểm M có tọa độ \(({x_0};{y_0}).\) Trong tam giác vuông OHM, áp dụng cách tính các tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã học ở lớp 9, chứng tỏ rằng:

\(\sin \alpha  = {y_0};\;\cos \alpha  = {x_0};\;\tan \alpha  = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}};\;\cot \alpha  = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}.\)

Tìm các giá trị lượng giác của góc \({135^o}\)

Trên nửa đường tròn đơn vị, cho dây cung NM song song với trục Ox (Hình 4). Tính tổng số đo của hai góc \(\widehat {xOM}\) và \(\widehat {xON}.\)

Tính các giá trị lượng giác: \(\sin {120^o};\cos {150^o};\cot {135^o}.\)

Cho biết \(\sin \alpha  = \frac{1}{2},\) tìm góc \(\alpha \;({0^o} \le \alpha  \le {180^o})\) bằng cách vẽ nửa đường tròn đơn vị.

Tính:

\(A = \sin {150^o} + \tan {135^o} + \cot {45^o}\)

\(B = 2\cos {30^o} - 3\tan 150 + \cot {135^o}\)

Tìm góc \(\alpha ({0^o} \le \alpha  \le {180^o})\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

b) \(\cos \alpha  = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\)

c) \(\tan \alpha  =  - 1\)

d) \(\cot \alpha  =  - \sqrt 3 \)

a) Tính \(\cos {80^o}43'51'';\tan {147^o}12'25'';\cot {99^o}9'19''.\)

b) Tìm \(\alpha \;({0^o} \le \alpha  \le {180^o}),\) biết \(\cos \alpha  =  - 0,723.\)

Cho biết \(\sin {30^o} = \frac{1}{2};\sin {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\tan {45^o} = 1.\) Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của \(E = 2\cos {30^o} + \sin {150^o} + \tan {135^o}.\) 

Chứng minh các hệ thức sau:

a) \(\sin {20^o} = \sin {160^o}\)

b) \(\cos {50^o} =  - \cos {130^o}\)

Tìm góc \(\alpha \;\;({0^o} \le \alpha  \le {180^o})\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\cos \alpha  =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

b) \(\sin \alpha  = 0\)

c) \(\tan \alpha  = 1\)

d) \(\cot \alpha \) không xác định.

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) \(\sin A = \sin \;(B + C)\)

b) \(\cos A =  - \cos \;(B + C)\)

Chứng minh rằng với mọi góc \(\alpha \;\;({0^o} \le \alpha  \le {180^o})\), ta đều có:

a) \({\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = 1\)

b) \(\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\;({0^o} < \alpha  < {180^o},\alpha  \ne {90^o})\)

c) \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\;(\alpha  \ne {90^o})\)

d) \(1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\;({0^o} < \alpha  < {180^o})\)

Cho góc \(\alpha \) với \(\cos \alpha  =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\) Tính giá trị của biểu thức \(A = 2{\sin ^2}\alpha  + 5{\cos ^2}\alpha .\)

Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yên cầu dưới đây:

a) Tính \(\sin {168^o}45'33'';\cos {17^o}22'35'';\tan {156^o}26'39'';\cot {56^o}36'42''.\)

b) Tìm \(\alpha \;({0^o} \le \alpha  \le {180^o}),\)trong các trường hợp sau:

i) \(\sin \alpha  = 0,862.\)

ii) \(\cos \alpha  =  - 0,567.\)

iii) \(\tan \alpha  = 0,334.\)

Tính giá trị của \(T = 4\cos 60^\circ  + 2\sin 135^\circ  + 3\cot 120^\circ \)

Chứng minh rằng

a) \(\sin 138^\circ  = \sin 42^\circ \) 

b) \(\tan 125^\circ  =  - \cot 35^\circ \)

Tìm góc \(\alpha \left( {0^\circ  \le \alpha  \le 180^\circ } \right)\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\cos \alpha  =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

b) \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

c) \(\tan \alpha  =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

d) \(\cot \alpha  =  - 1\)

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:

a) \(\tan B =  - \tan \left( {A + C} \right)\)     

b) \(\sin C = \sin \left( {A + B} \right)\)

Chứng minh rằng với mọi góc \(x\left( {0^\circ  \le x \le 90^\circ } \right)\), ta đều có:

a) \(\sin x = \sqrt {1 - {{\cos }^2}x} \) 

b) \(\cos x = \sqrt {1 - {{\sin }^2}x} \)

c) \({\tan ^2}x = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\left( {x \ne 90^\circ } \right)\)              

d) \({\cot ^2}x = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\left( {x \ne 0^\circ } \right)\)

Cho góc x với \(\cos x =  - \frac{1}{2}\). Tính giá trị của biểu thức \(S = 4{\sin ^2}x + 8{\tan ^2}x\)

Dùng máy tính cầm tay, tính:

a) \(\sin 130^\circ 12'24''\)   

b) \(\cos 144^\circ 35'12''\)

c) \(\tan 152^\circ 35'44''\)

Dùng máy tính cầm tay, tìm x biết:

a) \(\cos x =  - 0,234\) 

b) \(\sin x = 0,812\)   

c) \(\cot x =  - 0,333\)