Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy (Hình 18), cho hai vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {{x_1},{y_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v  = \left( {{x_2},{y_2}} \right)\)

a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) theo hai vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \)

b) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v \),\(\overrightarrow u  - \overrightarrow v \),\(k\overrightarrow u \left( {k \in \mathbb{R}} \right)\) theo hai vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \)

c) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v \),\(\overrightarrow u  - \overrightarrow v \),\(k\overrightarrow u \left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)

a) Cho \(\overrightarrow u  = \left( { - 2;0} \right),\overrightarrow v  = \left( {0;6} \right),\overrightarrow w  = \left( { - 2;3} \right)\). Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v  + \overrightarrow w \)

b) Cho \(\overrightarrow u  = \left( {\sqrt 3 ;0} \right),\overrightarrow v  = \left( {0;\sqrt 7 } \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow w \)sao cho \(\overrightarrow w  + \overrightarrow u  = \overrightarrow v \)

Trong bài toán mở đầu, hãy tìm tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 2 giờ.          

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm \(A\left( {{x_A},{y_A}} \right),B\left( {{x_B},{y_B}} \right)\). Gọi \(M\left( {{x_M},{y_M}} \right)\) là trung điểm của đoạn thẳng AB ( minh họa hình 19)

a) Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {OM} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \)

b) Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G ( minh họa ở Hình 20)

a) Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {OG} \) theo ba vectơ \(\overrightarrow {OA} \) , \(\overrightarrow {OB} \)và \(\overrightarrow {OC} \)

b) Tìm tọa độ G theo tọa độ của A, B, C

Cho hai điểm A(2; 4) và M(5 ; 7). Tìm toạ độ điểm B sao cho M là trung điểm đoạn thẳng AB.

Cho ba điểm A(-1; 1), B(1;5), G(1 ; 2).

a) Chứng minh ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Tìm toạ độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \)  là vectơ đơn vị trên trục hoành Ox và ở trên trục tung Oy

a) Tính \({\overrightarrow i ^2};{\overrightarrow j ^2};\overrightarrow i .\overrightarrow j .\)

b) Cho \(\overrightarrow u  = \left( {{x_1},{y_1}} \right)\), \(\overrightarrow v  = \left( {{x_2},{y_2}} \right)\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \) .

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow a  = \left( { - 1;2} \right),\overrightarrow b  = \left( {3;1} \right),\overrightarrow c  = \left( {2; - 3} \right)\).

a) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - 3\overrightarrow c \)

b) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow x \) sao cho \(\overrightarrow x  + 2\overrightarrow b  = \overrightarrow a  + \overrightarrow c \)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(-2;3), B(4; 5), C(2;- 3).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

c) Giải tam giác ABC (làm tròn các kết quả đến hàng đơn vị).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh BC, CA, AB tương ứng là M(2 ; 0), N4 ; 2), P(1 ; 3).

a) Tìm toạ độ các điểm A, B, C.

b) Trọng tâm hai tam giác ABC và MNP có trùng nhau không? Vì sao?

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;4), B(-1;1), C(-8; 2).

a) Tính số đo góc ABC (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

b) Tính chu vi của tam giác ABC.

c) Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng BC sao cho diện tích của tam giác ABC bằng hai lần diện tích của tam giác ABM.

Cho ba điểm A(1; 1), B(4;3) và C(0;- 2).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD và CD= 2AB.

Chứng minh khẳng định sau: Hai vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {{x_1},{y_1}} \right)\), \(\overrightarrow v  = \left( {{x_2},{y_2}} \right)\) (\(\overrightarrow v  \ne 0\) ) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k sao cho \({x_1}{\rm{ =  }}k{x_2}\) và \({y_1} = {\rm{ }}k{y_2}\) .

Một vật đồng thời bị ba lực tác động: lực tác động thứ nhất \(\overrightarrow {{F_1}} \) có độ lớn là 1 500 N, lực tác động thứ hai\(\overrightarrow {{F_2}} \) , có độ lớn là 600 N, lực tác động thứ ba\(\overrightarrow {{F_3}} \) , có độ lớn là 800 N. Các lực này được biểu diễn bằng những vectơ như Hình 23, với \(\left( {\overrightarrow {{F_1}} ,{\rm{ }}\overrightarrow {{F_2}} } \right)\) = 30°, \(\left( {\overrightarrow {{F_1}} ,{\rm{ }}\overrightarrow {{F_3}} } \right)\)= 45° và \(\left( {\overrightarrow {{F_2}} ,{\rm{ }}\overrightarrow {{F_3}} } \right)\)= 75°. Tính độ lớn lực tổng hợp tác động lên vật (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Cho hai vectơ \(\overrightarrow u  = ( - 1;3)\) và \(\overrightarrow v  = (2; - 5)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v \) là:

A. (1; -2)                    

B. (-2; 1)                   

C. (-3; 8)                    

D. (3; -8)

Cho hai vectơ \(\overrightarrow u  = (2; - 3)\)và \(\overrightarrow v  = (1;4)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow u  - 2\overrightarrow v \) là:

A. (0; 11)          

B. (0; -11)                 

C. (-11; 0)                  

D. (-3; 10)

Cho hai điểm A(4; − 1) và B(– 2; 5). Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

A. (2;4)          

B. (-3; 3)                   

C. (3; -3)                    

D. (1; 2)

Cho tam giác ABC có A(4 ; 6), B(1 ; 2), C(7 ; – 2). Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

\(A\left( {4;\frac{{10}}{3}} \right)\)            

B. (8; 4)                      

C. (2;4)               

D. (4; 2).

Cho hai điểm M(− 2 ; 4) và N(1 ; 2). Khoảng cách giữa hai điểm M và N là:

A. \(\sqrt {13} \)                                

B. \(\sqrt 5 \)                         

C. 13                               

D. \(\sqrt {37} \)

Cho hai vectơ \(\overrightarrow u  = ( - 4; - 3)\) và \(\overrightarrow v  = ( - 1; - 7)\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) là:

A. 90⁰                         

B. 60⁰                         

C. 45⁰                         

D. 30⁰

Côsin của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u  = (1;1)\) và \(\overrightarrow v  = ( - 2;1)\) là:

A. \( - \frac{1}{{10}}\)                       

B. \(\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)                       

C. \( - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)                 

D. \(\frac{3}{{10}}\)

Cho tam giác ABC có A(2 ; 6), B(– 2 ; 2), C(8 ; 0). Khi đó, tam giác ABC là:

A. Tam giác đều                                            

B. Tam giác vuông tại A

C. Tam giác có góc tù tại A                           

D. Tam giác cân tại A

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(1; 5), B(–1; –1), C(2; – 5).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

c) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD và CD = \(\frac{3}{2}\)AB

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(– 2 ; 4), B(– 5 ; − 1), C(8 ; – 2). Giải tam giác ABC (làm tròn các kết quả số đo góc đến hàng đơn vị).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(4 ; −2), B(10; 4) và điểm M nằm trên trục Ox. Tìm toạ độ điểm M sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|\) có giá trị nhỏ nhất.

Trên màn hình ra đa của đài kiểm soát không lưu (được coi như mặt phẳng toạ độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), một máy bay trực thăng chuyển động thẳng đều từ thành phố A có toạ độ

(600 ; 200) đến thành phố B có toạ độ (200 ; 500) và thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ. Hãy tìm toạ độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ.