Bài tập 4 trang 45 SGK Toán 10 NC

Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng của nó:

a) $y = x^2 + 2x - 2$ trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$;

b) $y = - 2x^2 + 4x + 1$ trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; -1} \right)$ và $\left( { 1; + \infty } \right)$;

c) $y = \frac{2}{{x - 3}}$ trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; 3} \right)$ và $\left( { 3; + \infty } \right)$

QUẢNG CÁO

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Ta có :

+ Với mọi ${x_1};{x_2} \in \left( { - \infty ; - 1} \right)$ và ${x_1} \ne {x_2}$ ta có:

$f(x_2) – f(x_1) = x_2^2 + 2x_2 – 2 – (x_1^2 + 2x_1 – 2)$
$= x_2^2 – x_1^2 + 2(x_2 – x_1) = (x_2 – x_1)(x_1 + x_2 + 2)$
$ \Rightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2$

Vì $x_1<-1$ và $x_2<-1$ nên $x_1+x_2+2<0$ nên $\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} < 0$

Vậy hàm số $y=x^2+2x-2$ nghịch biến trên $\left( { - \infty ; - 1} \right)$

+ Với mọi ${x_1};{x_2} \in \left( { - 1; + \infty } \right)$ và ${x_1} \ne {x_2}$ ta có:

$\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2 > 0$ (vì $x_1>-1; x_2>-1$

b) Ta có :

+ Với mọi ${x_1};{x_2} \in \left( { - \infty ; 1} \right)$ và ${x_1} \ne {x_2}$ ta có:

$f(x_2) – f(x_1) $

$= (-2x_2^2 + 4x_2 + 1) – (-2x_1^2 + 4x_1 + 1)$

$= -2(x_2^2 - x_1^2) + 4(x_2 - x_1) $

$= 2(x_2 - x_1)(2 – x_1 – x_2)$

$ \Rightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = 2\left( {2 - {x_1} - {x_2}} \right)$

Vì $x_1 < 1$ và $x_2 < 1$ nên $2 - x_1 – x_2 > 0$

Vậy hàm số $y = -2x^2 + 4x + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$

+ Với mọi ${x_1};{x_2} \in \left( { 1; + \infty } \right)$ và ${x_1} \ne {x_2}$ ta có:

$\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = 2\left( {2 - {x_1} - {x_2}} \right) < 0$ (vì $x_1>1$ và $x_2>1$)

Vậy hàm số $y=-2x^2+4x+1$ nghịch biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$

c) Ta có :

+ Với mọi ${x_1};{x_2} \in \left( { - \infty ; 3} \right)$ và ${x_1} \ne {x_2}$ ta có:

$\begin{array}{l}
f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \frac{2}{{{x_2} - 3}} - \frac{2}{{{x_1} - 3}}\\
= \frac{{2\left( {{x_1} - 3} \right) - 2\left( {{x_2} - 3} \right)}}{{\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right)}} = \frac{{2\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right)}}
\end{array}$

$ \Rightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{ - 2}}{{\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right)}}$ (vì $x_1<3; x_2<3$ nên $(x_1-3)(x_2-3)>0$)

$ \Rightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} < 0$

Vậy hàm số $y = \frac{2}{{x - 3}}$ nghịch biến trên $\left( { - \infty ;3} \right)$

+ Với mọi ${x_1};{x_2} \in \left( { 3; + \infty } \right)$ và ${x_1} \ne {x_2}$ ta có:

$\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{ - 2}}{{\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right)}} < 0$ (vì $x_1 > 3; x_2 > 3$ nên $(x_1 – 3)(x_2 – 3) > 0$)
Vậy hàm số $y = \frac{2}{{x - 3}}$ nghịch biến trên $\left( {3; + \infty } \right)$

-- Mod Toán 10 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 4 trang 45 SGK Toán 10 NC HAY thì click chia sẻ