Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ: Tìm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong các hệ sau:

\(\begin{array}{l}
a)\left\{ \begin{array}{l}
3x + y - 1 \le 0\\
2x - y + 2 \ge 0
\end{array} \right.\\
b)\left\{ \begin{array}{l}
5x + y - 9 = 0\\
4x - 7y + 3 = 0
\end{array} \right.\\
c)\left\{ \begin{array}{l}
y - 1 < 0\\
x + 2 \ge 0
\end{array} \right.\\
d)\left\{ \begin{array}{l}
x + y - 3 \le 0\\
 - 2x + y + 3 \ge 0\\
x \ge 0\\
y \le 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

Giải

Các hệ a), e), đ) là các hệ bât phương trình bậc nhật hai ẩn.

Hệ b) không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ân vì hệ này chỉ gồm các phương trình

Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}
2x - y - 3 \le 0\\
2x - y + 2 \le 0
\end{array} \right.\)

Giải

Biểu điễn từng miền nghiêm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

Miễn không gạch chéo (kề cả bờ) trong (Hình bên dưới) là phần giao của hai miền nghiệm của hai bất phương trình và cũng là phần biểu diễn miễn nghiệm của hệ bât phương trình đã cho.

Cho hệ BPT bậc nhất hai ẩn x, y có miền nghiệm là miền đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\).

Khi đó: Giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biể thức \(F(x;y) = mx + ny\), với \((x;y)\) là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\), đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Câu 1: Một người nông dân dự định quy hoạch x sào đất trồng cà tím và y sào đất trồng cà chua.

Biết rằng người đó chỉ có tối đa 9 triệu đồng để mua hạt giống và giá tiền hạt giống cho mỗi sào đất trồng cà tím là 200 000 đồng, mỗi sào đất trồng cà chua là 100 000 đồng.

a) Viết các bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc đối với x, y.

b) Cặp số nào sau đây thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình nêu trên?

(20; 40),            (40; 20),          (-30; 10).

Hướng dẫn giải

a)

Để quy hoạch x sào đất trồng cà tím, cần \(200\,000.x\)(đồng)

Để quy hoạch y sào đất trồng cà chua, cần \(100\,000.y\)(đồng)

Tổng số tiền để mua hạt giống là \(200{\rm{ }}000.x + 100{\rm{ }}000.y\) (đồng), tối đa là 9 triệu đồng nên ta có bất phương trình: \(0,2x + 0,1y \le 9\)

Ngoài ra số sào đất là số không âm nên \(x \ge 0\) và \(y \ge 0\)

b) + Cặp số (20; 40) thỏa mãn cả 3 bất phương trình trên vì \(0,2.20 + 0,1.40 = 8 < 9\).

+ Cặp số (40; 20) không thỏa mãn các bất phương trình trên vì \(0,2.40 + 0,1.20 = 10 > 9\).

+ Cặp số (-30; 10) không thỏa mãn các bất phương trình trên vì \( - 30 < 0\).

Câu 2: Cho hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 3 \le 0\\ - 2x + y + 3 \ge 0\end{array} \right.\)

Miền nào trong Hình 1 biểu diễn phần giao các miền nghiệm của hai bất phương trình trong hệ đã cho?

Hướng dẫn giải

Vẽ đường thẳng \(d:x + y - 3 = 0\) đi qua hai điểm \(A(0;3)\) và \(B\left( {1;2} \right)\)

Xét gốc tọa độ \(O(0;0).\) Ta thấy \(O \notin \Delta \) và \(0 + 0 - 3 =  - 3 < 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ \(d\), chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

Vẽ đường thẳng \(d': - 2x + y + 3 = 0\) đi qua hai điểm \(A(1; - 1)\) và \(B\left( {2;1} \right)\)

Xét gốc tọa độ \(O(0;0).\) Ta thấy \(O \notin \Delta \) và \( - 2.0 + 0 + 3 = 3 > 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ \(d'\), chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

Vậy miền không gạch chéo trong hình trên là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Qua bài giảng trên giúp các em nắm được các nội dung như sau:

- Hiểu được khái niệm BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn; tập nghiệm của BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn.

- Biết xác định miền nghiệm của BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn.

- Áp dụng được vào bài toán thực tế.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 2 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

  • A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {x + 3y - 6 > 0}\\
    {2x + y + 4 > 0}
    \end{array}} \right.\)
  • B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {x + 3y - 6 > 0}\\
    {2x + y + 4 < 0}
    \end{array}} \right.\)
  • C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {x + 3y - 6 < 0}\\
    {2x + y + 4 > 0}
    \end{array}} \right.\) 
  • D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {x + 3y - 6 < 0}\\
    {2x + y + 4 < 0}
    \end{array}} \right.\) 

• Câu 2:

  Trong các điểm sau đây, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x + 3y - 2 \ge 0}\\
  {2x + y + 1 \le 0}
  \end{array}} \right.\)

  • A. (0; 1);
  • B. (– 1; 1);
  • C. (1; 3);
  • D. (– 1; 0).

• Câu 3:

  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = y – x trên miền xác định bởi hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {y - 2x \le 2}\\
  {2y - x \ge 4}\\
  {x + y \le 5}
  \end{array}} \right.\) là

  • A. min F(x; y) = 1 khi x = 2, y = 3;
  • B. min F(x; y) = 2 khi x = 0, y = 2;
  • C. min F(x; y) = 3 khi x = 1, y = 4;
  • D. min F(x; y) = 7 khi x = 6, y = – 1.

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 2 Bài 2 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động khám phá 1 trang 33 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 1 trang 34 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Hoạt động khám phá 2 trang 34 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 2 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Vận dụng trang 37 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 1 trang 37 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 2 trang 38 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 3 trang 38 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 4 trang 38 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 5 trang 38 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 1 trang 33 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 2 trang 33 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 3 trang 33 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 4 trang 34 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!