Đặt điện áp \(u = 100\sqrt 2 \cos 2\pi ft\,\,\left( V \right)\) vào hai đầu đoạn mạch RLC nối tiếp, trong đó cuộn dây thuần cảm và \(\omega \) thay đổi được. Khi \(\omega = {\omega _1} = \sqrt {45} \,\,rad/s\) thì công suất tiêu thụ của mạch là lớn nhất. Khi tần số góc \({\omega _2}\) hoặc \({\omega _3}\) thì điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm bằng nhau là \(\dfrac{{500}}{{\sqrt 7 }}\,\,V\), biết \({\omega _2}^2 + 4{\omega _3}^2 = 225\). Khi \(\omega = {\omega _4}\) thì \({U_{L\max }}\). Giá trị của \({\omega _4}^2\) là?

Tần số để mạch có công suất tiêu thụ lớn nhất là: \({\omega _1} = \dfrac{1}{{\sqrt {LC} }} = \sqrt {45} \,\,\left( {rad/s} \right)\)

Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm là:

\(\begin{array}{l}{U_L} = \dfrac{{U.{Z_L}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} }} \Rightarrow \dfrac{{500}}{{\sqrt 7 }} = \dfrac{{100.{Z_L}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} }}\\ \Rightarrow \dfrac{{25}}{7} = \dfrac{{{Z_L}^2}}{{{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}} \Rightarrow 25{R^2} + 25{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)^2} = 7{Z_L}^2\\ \Rightarrow 18{Z_L}^2 + 25{R^2} + 25{Z_C}^2 - 50{Z_L}{Z_C} = 0\\ \Rightarrow 18{\omega ^2}{L^2} + 25{R^2} + \dfrac{{25}}{{{\omega ^2}{C^2}}} - \dfrac{{50L}}{C} = 0\\ \Rightarrow 18{\omega ^4}LC + \left( {25{R^2}{C^2} - 50LC} \right){\omega ^2} + 25 = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Hai tần số cho cùng giá trị hiệu dụng \({U_L} \to \) phương trình (1) có 2 nghiệm \({\omega _2}^2,{\omega _3}^2\)

Áp dụng định lí Vi – et cho phương trình (1), ta có:

\({\omega _2}^2{\omega _3}^2 = \dfrac{{25}}{{18{L^2}{C^2}}} = \dfrac{{25}}{{18}}{\omega _1}^4 = \dfrac{{25}}{{18}}.{\left( {\sqrt {45} } \right)^4} = 2812,5\)

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{\omega _2}^2 + 4{\omega _3}^2 = 225\\{\omega _2}^2{\omega _3}^2 = 2812,5\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\omega _2}^2 = 75\,\,\left( {ra{d^2}/{s^2}} \right)\\{\omega _3}^2 = 37,5\,\,\left( {ra{d^2}/{s^2}} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{\omega _2}^2 = 150\,\,\left( {ra{d^2}/{s^2}} \right)\\{\omega _3}^2 = 18,75\,\,\left( {ra{d^2}/{s^2}} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Điện áp hai đầu cuộn cảm đạt cực đại, ta có:

\(\dfrac{2}{{{\omega _4}^2}} = \dfrac{1}{{{\omega _2}^2}} + \dfrac{1}{{{\omega _3}^2}} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\omega _4}^2 = 50\,\,\left( {ra{d^2}/{s^2}} \right)\\{\omega _4}^2 = \dfrac{{100}}{3}\,\,\left( {ra{d^2}/{s^2}} \right)\end{array} \right.\)