Tìm hệ số của số hạng chứa x6 trong khai triển của: \(x^3\left ( \frac{1}{x^2}+\sqrt{5} \right )^n\)

Xét khai triển:

\(x^{3}\left ( \frac{1}{x^{3}}+\sqrt{x^{5}} \right )^{n}=x^{3}\left ( \frac{1}{x^{3}}+x^{\frac{5}{2}} \right )^{n}\)

\(=x^{3}\left [ C_{n}^{0}\left ( \frac{1}{x^{3}} \right )^{n}+C_{n}^{1}\left ( \frac{1}{x^{3}} \right )^{n-1}\left ( x^{\frac{5}{2}} \right )+...+C_{n}^{k}\left ( \frac{1}{x^{3}} \right )^{n-k}\left ( x^{\frac{5}{2}} \right )^{k}+...+C_{n}^{n}\left ( x^{\frac{5}{2}} \right )^{n} \right ]\)

Thay x = 1 vào khai triển ta được:

\(2^{n}=\left [ C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+...+C_{n}^{k}+...+C_{n}^{n} \right ]\)

Theo giả thiết ta có:

\(C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+...+C_{n}^{k}+...+C_{n}^{n} =4096\Leftrightarrow 2^{n}=2^{12}\Leftrightarrow n=12\)

Với n = 12 ta có khai triển: \(x^{3}\left ( \frac{1}{x^{2}}+\sqrt{x^{5}} \right )^{12}\)

Gọi số hạng thứ \(k+1(0\leq k\leq 12,k \in Z)\) là số hạng chứa x⁶.

Ta có: \(T_{k+1}=x^{3}C_{12}^{k}\left ( \frac{1}{x^{2}} \right )^{12-k}\left ( \sqrt{x^{5}} \right )^{k}=C_{12}^{k}x^{2k-21+\frac{5k}{2}}\)

Vì số hạng có chứa x⁶ nên: \({2k-21+\frac{5k}{2}}=6\Leftrightarrow k=\frac{2(21+6)}{9}=6.\)

Với k = 6 ta có hệ số cần tìm là: \(C_{12}^{6}=924.\)