OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Tình GTLN, GTNN của y=2x^2-2x+2/x^2+1

Tình GTLN, GTNN

\(y=\dfrac{2x^2-2x+2}{x^2+1}\)

Q= \(\dfrac{2x^2+4xy+5y^2}{x^2+y^2}\)

  bởi Ban Mai 10/01/2019
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • Lời giải:

    Biểu thức 1:

    \(y=\frac{2x^2-2x+2}{x^2+1}=\frac{2(x^2+1)-2x}{x^2+1}\)

    \(\Leftrightarrow y=2-\frac{2x}{x^2+1}\)

    Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(x^2+1\geq 2\sqrt{x^2}\Leftrightarrow x^2+1\geq 2|x|\)

    \(\Rightarrow (x^2+1)^2\geq 4x^2\)

    \(\Rightarrow \left(\frac{2x}{x^2+1}\right)^2\leq 1\Leftrightarrow -1\leq \frac{2x}{x^2+1}\leq 1\)

    Từ đây suy ra \(\left\{\begin{matrix} y=2-\frac{2x}{x^2+1}\geq 1\Leftrightarrow x=1\\ y=2-\frac{2x}{x^2+1}\leq 3\Leftrightarrow x=-1\end{matrix}\right.\)

    Vậy \(y_{\min}=1;y_{\max}=3\)

    Biểu thức 2:

    ĐKXĐ: $x,y$ không đồng thời bằng 0

    \(Q=\frac{2x^2+4xy+5y^2}{x^2+y^2}=\frac{(x^2+y^2)+(x+2y)^2}{x^2+y^2}\)

    \(\Leftrightarrow Q=1+\frac{(x+2y)^2}{x^2+y^2}\)

    Ta thấy \((x+2y)^2\geq 0\forall x,y\in\mathbb{R}; x^2+y^2>0\) (nằm trong khoảng xác định)

    \(\Rightarrow \frac{(x+2y)^2}{x^2+y^2}\geq 0\Rightarrow Q\geq 1\)

    Vậy \(Q_{\min}=1\Leftrightarrow x=-2y\) và \(x,y \neq 0\)

    Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxky:

    \((x+2y)^2\leq (x^2+y^2)(1+2^2)=5(x^2+y^2)\); \(x^2+y^2>0\) trong khoảng xác định

    \(\Rightarrow \frac{(x+2y)^2}{x^2+y^2}\leq \frac{5(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=5\)

    \(\Rightarrow Q\leq 1+5\Leftrightarrow Q\leq 6\Leftrightarrow Q_{\max}=6\)

    Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{x}{1}=\frac{y}{2}\Leftrightarrow 2x=y\) và \(x,y\neq 0\)

      bởi Đỗ Thị Hoài Vy Hoài Vy 10/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9