OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Chứng minh rằng BC/MD=AC/ME+AB/MF

Cho tam giác ABC ( AB<AC) nội tiếp đường tròn tâm O. M là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A. Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. C/m rằng

\(\dfrac{BC}{MD}=\dfrac{AC}{ME}+\dfrac{AB}{MF}\)

  bởi Tieu Dong 22/01/2019
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (3)

  • Ta có:
    \(\frac{BC}{MD}=\frac{BD+DC}{MD}=\frac{BD}{MD}+\frac{DC}{MD}=\cot \widehat{B_1}+\cot\widehat{C_1}\)

    Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{A_1}; \widehat{C_1}=\widehat{A_2}\) (theo tính chất của tứ giác nội tiếp)

    Do đó : \(\frac{BC}{MD}=\cot \widehat{A_1}+\cot \widehat{A_2}(*)\)

    \(\frac{AC}{ME}=\frac{AE+EC}{ME}=\frac{AE}{ME}+\frac{EC}{ME}=\cot \widehat{A_1}+\cot\widehat{MCE}\)

    \(\frac{AB}{MF}=\frac{AF-BF}{MF}=\frac{AF}{MF}-\frac{BF}{MF}=\cot \widehat{A_2}-\cot \widehat{FBM}\)

    \(\Rightarrow \frac{AC}{ME}+\frac{AB}{MF}=\cot \widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\cot \widehat{MCE}-\cot \widehat{FBM}\)

    Mà \(\widehat{MCE}=\widehat{FBM}(=180^0-\widehat{MBA})\)

    Do đó: \(\frac{AC}{ME}+\frac{AB}{MF}=\cot \widehat{A_1}+\cot \widehat{A_2}(**)\)

    Từ $(*)$ và $(**)$ ta có đpcm.

      bởi Lauria Khánh 22/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm

  • Hướng dẫn: Vẽ đường kính AN của (O). Không mất tính tổng quát giả sử M thuộc cung nhỏ BN => AD > AB và AE < AC 
    a. Em tự cm vì quá dễ 

    b. Ta có ^BMC = ^DME ( vì cùng bù vs ^BAC) => ^BMD = ^CME 
    Từ câu a có : ^BFD = ^BMD = ^CME = ^CFE => D; F; E thẳng hàng 

    c. Cũng từ câu a có ^ABM = ^EFM (1) vì cùng bù vs ^ACM => và ^BAM = ^BCM = ^FEM (2) 
    Từ (1) và (2) => tg ABM ~ tg EFM => AB/BM = EF/FM <=> (AB/2)/BM = (EF/2)/FM <=> IB/BM = KF/FM (3) 
    Từ (1) và (3) => tg IBM ~ tg KFM => ^DIM = ^DKM => IDMK nội tiếp => ^IKM = ^IDM = 90o 

    d. HÌnh như sai đề vì nếu M càng gần B thì AB/DM và BC/MF càng lớn còn AC/ME càng bé. Xem xét có lẽ cần cm : AB/MD + AC/ME = BC/MF 
    Thật vậy dễ thấy: 
    tg vuông BDM ~ tg vuông CEM => BD/MD = CE/ME 
    tg vuông ADM ~ tg vuông CFM => AD/MD = CF/MF 
    tg vuông BFM ~ tg vuông AEM => BF/MF = AE/ME 
    Vậy AB/MD + AC/ME = (AD - BD)/MD + (AE + CE)/ME = CF/MF + BF/MF = BC/MF 

    e. Dễ thấy tg DME ~ tg BMC => DE/BC = MD/MB =< 1 => DE =< BC 
    => Max DE = BC <=> MD = MB <=> D trùng B <=> M trùng N

      bởi Lê Thanh Ngọc 22/01/2019
    Like (6) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9