OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Chứng minh rằng 0

Cho các số thực a,b,c đồng thời thỏa mãn:

\(a< b< c;a+b+c=6;ab+bc+ca=9\)

CMR: \(0< a< 1< b< 3< c< 4\)

  bởi Tra xanh 16/01/2019
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • Có: \(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=6^2-2\cdot9=18\)

    * CM: a,b,c>0

    Ta có: \(9=ab+bc+ca< a\left(b+c\right)+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{4}=a\left(6-a\right)+\dfrac{\left(6-a\right)^2}{4}\)

    \(\Rightarrow\dfrac{3a^2}{4}-3a< 0\)\(\Rightarrow0< a< 4\)\(\Rightarrow0< a< b< c\)

    Lại có: \(18=a^2+b^2+c^2< ac+bc+c^2=c\left(a+b+c\right)=6c\)

    \(\Rightarrow c>3\)

    *CM: c < 4:

    Giả sử: \(c\ge4\Rightarrow c^2\ge4c\)

    Suy ra: \(18=a^2+b^2+c^2>\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}+4c=\dfrac{\left(6-c\right)^2}{2}+4c\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{c^2}{2}-2c< 0\) => 0 < c < 4

    => Điều giả sử là sai => c < 4

    *CM a < 1:

    giả sử: \(1\le a< b< c< 4\),

    khi đó ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)\left(a-4\right)\le0\left(1\right)\\\left(b-1\right)\left(b-4\right)< 0\left(2\right)\\\left(c-1\right)\left(c-4\right)< 0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

    cộng theo vế (1),(2),(3) ta được:

    \(a^2+b^2+c^2\le5\left(a+b+c\right)-12\)

    \(\Leftrightarrow18< 5\cdot6-12=18\) (vô lí)

    => Giả sử sai => a < 1

    Ta có: a < 1; c < 4

    => \(b=6-a-c>6-1-4=1\)

    cần cm: b < 3. Giả sử \(b\ge3\), ta có:\(\left(b-3\right)\left(c-3\right)\ge0\)

    \(\Leftrightarrow bc\ge3\left(b+c\right)-9=3\left(6-a\right)-9=9-3a\)

    \(\Rightarrow9=ab+bc+ca=a\left(b+c\right)+bc\ge a\left(b+c\right)+9-3a\)

    \(\Rightarrow a\left(b+c-3\right)\le0\) (sai vì: a>0; b+c>3)

    => giả sử b ≥ 3 là sai => b<3

    Từ các CM trên => \(0< a< 1< b< 3< c< 4\)

    → đpcm

      bởi Trịnh Trường Long 16/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9