Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức |x-2004|+|x-1|

a)\(A=x^6-2007x^5+2007x^4-2007x^3+2007x^2-2007x+2007\)

Tại \(x=2006\) thì giá trị biểu thức \(A\) là:

\(A=2006^6-2007\cdot2006^5+...-2007\cdot2006+2007\)

\(=2006^6-\left(2006+1\right)\cdot2006^5+...-\left(2006+1\right)\cdot2006+2007\)

\(=2006^6-2006^6+2006^5-...-2006^2-2006+2007\)

\(=-2006+2007=1\)

b)Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=bk\\c=dk\end{matrix}\right.\)

Khi đó

\(VT=\dfrac{\left(bk\right)^{2004}-b^{2004}}{\left(bk\right)^{2004}+b^{2004}}=\dfrac{b^{2004}k^{2004}-b^{2004}}{b^{2004}k^{2004}+b^{2004}}=\dfrac{b^{2004}\left(k^{2004}-1\right)}{b^{2004}\left(k^{2004}+1\right)}=\dfrac{k^{2004}-1}{k^{2004}+1}\left(1\right)\)

\(VP=\dfrac{\left(dk\right)^{2004}-d^{2004}}{\left(dk\right)^{2004}+d^{2004}}=\dfrac{d^{2004}k^{2004}-d^{2004}}{d^{2004}k^{2004}+d^{2004}}=\dfrac{d^{2004}\left(k^{2004}-1\right)}{d^{2004}\left(k^{2004}+1\right)}=\dfrac{k^{2004}-1}{k^{2004}+1}\left(2\right)\)

Từ \((1) và (2)\) ta có điều phải chứng minh

c)Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) ta có:

\(A=\left|x-2004\right|+\left|x-1\right|=\left|2004-x\right|+\left|x-1\right|\)

\(\ge\left|2004-x+x-1\right|=2003\)

Đẳng thức xảy ra khi \(1\le x\le2004\)

Vậy với \(1\le x\le2004\) thì \(A_{Min}=2003\)