Chứng minh tam giác BCK cân biết tam giác ABC vuông tại A có phân giác BE

a) Xét \(\Delta ABE,\Delta HBE\) có :

\(\widehat{BAE}=\widehat{BHE}\left(=90^{^O}\right)\)

\(BE:Chung\)

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\) (BE là tia phân giác của \(\widehat{B}\))

=> \(\Delta ABE=\Delta HBE\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}AE=HE\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)\\AB=BH\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)\end{matrix}\right.\)

b) Xét \(\Delta AEK,\Delta HEC\) có :

\(\widehat{AEK}=\widehat{HEC}\) (đối đỉnh)

\(AE=HE\left(cmt\right)\)

\(\widehat{KAE}=\widehat{CHE}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta AEK=\Delta HEC\) (g.c.g)

=> \(AK=HC\) (2 cạnh tương ứng)

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(\text{Tam giác ABC cân tại A}\right)\\AK=HC\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}BK=AB+AK\\BC=BH+HC\end{matrix}\right.\)

Nên : \(AB+AK=BH+HC\)

\(\Leftrightarrow BK=BC\)

=> \(\Delta BCK\) cân tại B.

c) Ta có : \(BK=BC=10cm\)

Xét \(\Delta ABC\perp A\) có :

\(AC^2=BC^2-AB^2\) (định lí PYTAGO)

=> \(AC^2=10^2-6^2=64\)

=> \(AC=\sqrt{64}=8\left(cm\right)\)