Chứng minh góc DHE=90 độ biết tam giác ABC góc A=90 độ, AE vuông góc với Cx

a, Do BD vuông góc với AE thì ta đã biết A,D,E thẳng hàng vậy ta chỉ còn chứng minh AE=AD thì A sẽ là trung điểm của DE

Xét tam giác vuông AHC và tam giác vuông AEC, ta có

ACH = ACE (CA là tia phân giác góc BCx)

AC: cạnh chung

\(\Delta\)AHC = \(\Delta\) AEC (cạnh huyền-góc nhọn)

\(\Rightarrow\)AE=AH (1), góc HAC = góc CAE

Ta có DAB + BAH + HAC + CAE = 180⁰ mà góc BAH + HAC = 90⁰

\(\Rightarrow\) DAB + CAE = 90⁰ mà CAE = HAC (Hai \(\Delta\) bằng nhau o trên)

\(\Rightarrow\) DAB + HAC = 90⁰ mà BAH + HAC = 90⁰

\(\rightarrow\) DAB = BAH

Xét hai \(\Delta\) vuông ADB và AHB

AB cạnh chung

DAB = BAH (cmt)

Do đó hai \(\Delta\) bằng nhau (cạnh huyền-góc nhọn)

\(\Rightarrow\) DA=AH (2)

Từ (1), (2) \(\rightarrow\) AD=AE

Mà D, A, E thẳng hàng

\(\Rightarrow\) A là trung điểm của DE

b, Dùng định lý đảo của đường trung tuyến trong tam giác vuông

Ta có tam giác DHE có HA là đường trung tuyến và HA = \(\dfrac{1}{2}\)DE

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)DHE vuông tại H